4 O calor específico de ácido sulfúrico em um manual tem as unidades \mathrm{J} /\left[(\mathrm{g} \mathrm{mol})\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right], sendo dado pela relação
\text { calor específico }=139,1+1,56 \times 10^{-1} \mathrm{~T}í
em que T é expresso em graus Celsius. Modifique a fórmula, de modo que a expressão resultante forneça o calor específico com as unidades associadas de BTU/[(lb mol)( { }^{\circ} \mathrm{R} )] com T em graus Rankine.

Passo 1

O enunciado dá a expressão do calor específico do ácido sulfúrico em unidades SI (joules por (gram–mol × grau Celsius)):
\text{calor específico} = 139{,}1 + 1{,}56\times10^{-1}\,Tí
onde T está em graus Celsius e a unidade associada é \mathrm{J}/\bigl[(\mathrm{g\;mol})(^{\circ}\mathrm{C})\bigr].\n\nO que se pede: escrever uma fórmula equivalente que forneça o calor específico com unidades \mathrm{BTU}/\bigl[(\mathrm{lb\;mol})(^{\circ}\mathrm{R})\bigr] e com T em graus Rankine. \n\nInformações relevantes fornecidas ou necessárias para a conversão (anotadas explicitamente):\n\n- a expressão original: \;139{,}1 + 1{,}56\times10^{-1}\,T\; (unidades: \mathrm{J}/[(\mathrm{g\;mol})(^{\circ}\mathrm{C})]);\n- relação entre escalas de temperatura (obtida da relação entre Celsius, Kelvin e Rankine): \;T_{R}=(T_{C}+273{,}15)\cdot\dfrac{9}{5}\;, logo \;T_{C}=\dfrac{5}{9}T_{R}-273{,}15\;;\n- fator de conversão de energia: \;1\\ \mathrm{BTU}=1055{,}05585262\\ \mathrm{J}\; (vou usar isso para converter J → BTU);\n- fator de conversão de massa para o “mol” na notação dada: \;1\\ \mathrm{lb}=453{,}59237\\ \mathrm{g}\; (uso isso para converter “per \mathrm{g\;mol}” para “per \mathrm{lb\;mol}”).\n\nA resolução começa a seguir.

Passo 2

Defino passo a passo como converter unidades e a variável de temperatura. Explico o raciocínio: queremos transformar a expressão numérica e as unidades simultaneamente. Há três conversões a fazer:
  1. energia: \mathrm{J}\to\mathrm{BTU};\n2) “quantidade de substância” indicada como \mathrm{g\;mol}\to\mathrm{lb\;mol} (é só um fator devido à diferença entre grama e libra);\n3) temperatura: mudar de “por ^\circ\mathrm{C}” para “por ^\circ\mathrm{R}” e também escrever T em ^\circ\mathrm{R}.\n\nVou expressar cada fator de conversão e justificar a operação algebraicamente.

Passo 3

Converter as unidades escalares (energia e “mol”): \n\n- J para BTU: cada joule equivale a \dfrac{1}{1055{,}05585262} BTU, ou seja
1\\ \mathrm{J} = \dfrac{1}{1055{,}05585262}\\ \mathrm{BTU}.\n\n- “per \mathrm{g\;mol}” para “per \mathrm{lb\;mol}”: como \;1\\ \mathrm{lb}=453{,}59237\\ \mathrm{g}\;, uma unidade “ \mathrm{lb\;mol}” corresponde a 453{,}59237 vezes a unidade “ \mathrm{g\;mol}”. Assim, para converter um valor dado por \mathrm{(energia)}/(\mathrm{g\;mol}) para \mathrm{(energia)}/(\mathrm{lb\;mol}) devemos multiplicar por
\dfrac{\mathrm{g\;mol}}{\mathrm{lb\;mol}}=\dfrac{1}{453{,}59237}.\n\n- combinação energia × mol: multiplicamos por \dfrac{1}{1055{,}05585262}\cdot\dfrac{1}{453{,}59237} para passar de \mathrm{J}/(\mathrm{g\;mol}) para \mathrm{BTU}/(\mathrm{lb\;mol}).\n\nAgora falta o ajuste relacionado à unidade de temperatura: a expressão original está em “por ^\circ\mathrm{C}”; ao passar para “por ^\circ\mathrm{R}” precisamos multiplicar pelo fator que converte “por ^\circ\mathrm{C}” em “por ^\circ\mathrm{R}”. Como uma variação de 1\\ ^\circ\mathrm{C} equivale a \dfrac{9}{5}\\ ^\circ\mathrm{R}, para manter a mesma energia por variação de temperatura temos\n \text{(value per }^\circ\mathrm{R}) = \frac{^\circ\mathrm{C}}{^\circ\mathrm{R}}\times\text{(value per }^\circ\mathrm{C}) = \dfrac{9}{5}\times\text{(value per }^\circ\mathrm{C}).\n\nPortanto o fator total que multiplica os coeficientes numéricos da expressão é\n F=\dfrac{1}{1055{,}05585262}\cdot\dfrac{1}{453{,}59237}\cdot\dfrac{9}{5}.

Passo 4

Calculo numérico do fator F. Faço a conta em etapas e explico cada multiplicação (uso vírgula como separador decimal, conforme requerido):
F=\dfrac{1}{1055{,}05585262}\cdot\dfrac{1}{453{,}59237}\cdot\dfrac{9}{5}.
Primeiro multiplico os denominadores e depois faço a divisão:
1055{,}05585262\times453{,}59237\approx478{,}565{,}285\quad(\text{aproximação suficiente para nosso propósito}).çãó
Logo
F \approx \dfrac{1{,}8}{478{,}565{,}285} \approx 3{,}762993\times10^{-6}.
(Expliquei que 1{,}8 surge de \dfrac{9}{5}.)

Passo 5

Aplico F à expressão original. A expressão original é
c(T_{C}) = 139{,}1 + 1{,}56\times10^{-1}\,T_{C},
com T_{C} em ^\circ\mathrm{C} e c em \mathrm{J}/\bigl[(\mathrm{g\;mol})(^{\circ}\mathrm{C})\bigr].\n\nApós multiplicar por F obtemos uma expressão em \mathrm{BTU}/\bigl[(\mathrm{lb\;mol})(^{\circ}\mathrm{R})\bigr], mas ainda em função de T_{C}:
c = F\cdot\bigl(139{,}1 + 1{,}56\times10^{-1}T_{C}\bigr).
Agora substituímos T_{C} por T_{R} usando a relação
T_{C}=\dfrac{5}{9}T_{R}-273{,}15.
Fazendo a substituição:
c(T_{R}) = F\cdot\Bigl(139{,}1 + 1{,}56\times10^{-1}\Bigl(\dfrac{5}{9}T_{R}-273{,}15\Bigr)\Bigr).

Passo 6

Faço a álgebra interior e calculo os coeficientes numéricos passo a passo (tudo mostrado):
Calculo do coeficiente multiplicador de T_{R} dentro do parêntese:
1{,}56\times10^{-1}\cdot\dfrac{5}{9} = 0{,}156\cdot\dfrac{5}{9} = 0{,}086666\ldots = \dfrac{0{,}78}{9}.
Calculo do termo constante interior:
1{,}56\times10^{-1}\cdot(-273{,}15) = -0{,}156\cdot273{,}15 = -42{,}6114.
Somando com 139{,}1 obtemos o termo constante interior:
139{,}1 - 42{,}6114 = 96{,}4886.
Portanto a expressão interior fica
96{,}4886 + 0{,}086666\ldots\;T_{R}.
Agora multiplico cada coeficiente por F\approx 3{,}762993\times10^{-6}:
  • termo constante final:
96{,}4886\times F \approx 96{,}4886\times3{,}762993\times10^{-6}\approx 3{,}63093\times10^{-4}.
  • coeficiente de T_{R} final:
0{,}086666\ldots\times F \approx 0{,}086666\ldots\times3{,}762993\times10^{-6}\approx 3{,}261261\times10^{-7}.
Assim obtemos uma expressão numérica aproximada, com T_{R} em graus Rankine e unidades \mathrm{BTU}/\bigl[(\mathrm{lb\;mol})(^{\circ}\mathrm{R})\bigr]:
c(T_{R}) \approx 0{,}0003630934 + 3{,}261261\times10^{-7}\;T_{R}.
(Arredondei os coeficientes mantendo precisão razoável — você pode arredondar mais se quiser. Mantive os cálculos detalhados para que você consiga refazer à mão.)

Resposta

\text{calor específico} = 0{,}0003630934 + 3{,}261261\times10^{-7}\,T_{R}\\ \left[\mathrm{BTU}/\bigl((\mathrm{lb\;mol})(^{\circ}\mathrm{R})\bigr)\right]í

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