Exercício 9. Um medidor do tipo Venturi tem um diâmetro de 38,9 \mathrm{~mm} e é instalado em uma linha de tubulação que tem um diâmetro interno de 102,3 \mathrm{~mm}. Sabe-se que a água tem uma massa específica de 999 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. A queda de pressão medida no Venturi é de 156,9 \mathrm{kPa}. O coeficiente do Venturi é de 0,98 . Calcule a vazão. Resp. \dot{V}=0,0208 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a vazão volumétrica \dot{V}:\n
d_1 = 102{,}3\\ \mathrm{mm} = 0{,}1023\\ \mathrm{m}\n
d_2 = 38{,}9\\ \mathrm{mm} = 0{,}0389\\ \mathrm{m}\n
\rho = 999\\ \mathrm{kg/m^3}\n
\Delta p = p_1 - p_2 = 156{,}9\\ \mathrm{kPa} = 156900\\ \mathrm{Pa}\n
C = 0{,}98\quad(\text{coeficiente do Venturi})\n
O que devemos encontrar é \dot{V} em \mathrm{m^3/s}.

Passo 2

Primeiro conceito importante: continuidade de massa para escoamento incompressível (o que vale para água). A área da seção transversal é
A=\frac{\pi d^2}{4}.
A continuidade diz que a vazão volumétrica é a mesma em qualquer seção: A_1 v_1 = A_2 v_2.
Definimos a razão de áreas
\beta \equiv \frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2.
Isolando v_2 em função de v_1 obtemos
v_2 = \frac{A_1}{A_2}v_1 = \frac{v_1}{\beta}.
(Isto significa que, como A_2<A_1, a velocidade na garganta v_2 é maior.)

Passo 3

Segundo conceito importante: equação de Bernoulli para escoamento incompressível e desprezando diferenças de altura:
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Subtraindo termos:
\Delta p \equiv p_1-p_2 = \tfrac{1}{2}\rho\left(v_2^2 - v_1^2\right).
Substituindo v_2 = v_1/\beta:
\Delta p = \tfrac{1}{2}\rho v_1^2\left(\frac{1}{\beta^2}-1\right).
Daí isolamos v_1^2:
v_1^2 = \frac{2\Delta p/\rho}{\dfrac{1}{\beta^2}-1}.
Essa fórmula nos dá a velocidade média na seção maior v_1 a partir da queda de pressão medida.

Passo 4

Agora calculamos numericamente \beta. Primeiro a razão de diâmetros:
\frac{d_2}{d_1} = \frac{0{,}0389}{0{,}1023} \approx 0{,}3803.
Logo
\beta = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 \approx 0{,}3803^2 \approx 0{,}1446.
Calculamos também o denominador da expressão de v_1^2:
\frac{1}{\beta^2}-1 = \frac{1}{(0{,}1446)^2}-1 \approx \frac{1}{0{,}02090}-1 \approx 47{,}85-1 \approx 46{,}85.

Passo 5

Calculamos o numerador 2\Delta p/\rho:
\frac{2\Delta p}{\rho} = \frac{2\cdot 156900}{999} \approx 314{,}114\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
Então
v_1^2 = \frac{314{,}114}{46{,}85} \approx 6{,}704,
portanto
v_1 \approx \sqrt{6{,}704} \approx 2{,}589\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora a vazão ideal (sem considerar perdas do equipamento) é
\dot{V}_{\text{ideal}} = A_1 v_1,
com
A_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{\pi (0{,}1023)^2}{4} = \pi\cdot 0{,}01046529/4 \approx 0{,}0082175\\ \mathrm{m^2}.
Logo
\dot{V}_{\text{ideal}} \approx 0{,}0082175\cdot 2{,}589 \approx 0{,}02127\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 7

O coeficiente do Venturi C corrige a vazão ideal para a vazão real medida pelo dispositivo:
\dot{V} = C\cdot \dot{V}_{\text{ideal}}.
Aplicando C=0{,}98:
\dot{V} \approx 0{,}98 \cdot 0{,}02127 \approx 0{,}02084\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando conforme a resposta indicada obtemos \dot{V}\approx 0{,}0208\\ \mathrm{m^3/s}.

Resposta

\dot{V}=0{,}0208\\ \mathrm{m^3/s}

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