Uma particula se move em um plano x y de tal forma que suas coordenadas x e y variam com 0 tempo de acordo com x(i)=f \cdot 32 t e y(t)=5 f^{2}+12. Aqui x e y estab expressos em metros e t \mathrm{em} segundos. Ache a posição, velocidade e aceleração da particula quando \quad t=3 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado fornece as coordenadas da partícula no plano em função do tempo e pede a posição, a velocidade e a aceleração no instante t=3\\ \mathrm{s}. Vou escrever explicitamente as funções que aparecem no enunciado (corrigindo a letra f para t, que parece ser um erro de digitação):
x(t)=3t^{2}
y(t)=5t^{2}+12
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{tempo pedido: } t=3\\ \mathrm{s}
x \text{ e } y \text{ estão em metros (m), } t \text{ em segundos (s).}ã
A partir disso precisamos calcular:
  • a posição \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) em t=3\\ \mathrm{s};
  • a velocidade \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}=(\dot{x}(t),\dot{y}(t)) em t=3\\ \mathrm{s};
  • a aceleração \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=(\ddot{x}(t),\ddot{y}(t)) em t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entendendo o que é posição, velocidade e aceleração em funções: a posição é dada diretamente pelas coordenadas x(t) e y(t). A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo; isto é, para cada coordenada calculamos a derivada temporal. A aceleração é a derivada da velocidade (ou seja, a segunda derivada da posição).
Regra que vamos usar (regra do polinômio / regra do poder):
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1},
onde n é um número real (no nosso caso inteiro). Essa regra diz que para derivar t^{n} multiplicamos por n e diminuímos o expoente em 1.

Passo 3

Calculemos a velocidade \mathbf{v}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t)) aplicando a regra do poder coordenada a coordenada.
Derivando x(t)=3t^{2}:
\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=3\cdot 2t=6t.
Derivando y(t)=5t^{2}+12:
\dot{y}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(5t^{2}+12\bigr)=5\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)+\frac{d}{dt}(12)=5\cdot 2t+0=10t.
Portanto a velocidade geral é
\mathbf{v}(t)=(6t,\;10t).

Passo 4

Agora calculemos a aceleração \mathbf{a}(t)=(\ddot{x}(t),\ddot{y}(t)) derivando \mathbf{v}(t) em relação ao tempo.
Derivando \dot{x}(t)=6t:
\ddot{x}(t)=\frac{d}{dt}(6t)=6.
Derivando \dot{y}(t)=10t:
\ddot{y}(t)=\frac{d}{dt}(10t)=10.
Logo a aceleração é constante:
\mathbf{a}(t)=(6,\;10)\quad\text{(em m/s}^{2}\text{)}.

Passo 5

Avalie posição, velocidade e aceleração no instante t=3\\ \mathrm{s}.
Posição: \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)). Calculando cada coordenada em t=3:
x(3)=3\cdot 3^{2}=3\cdot 9=27\\ \mathrm{m},
y(3)=5\cdot 3^{2}+12=5\cdot 9+12=45+12=57\\ \mathrm{m}.
Portanto \mathbf{r}(3)=(27,\;57)\\ \mathrm{m}.
Velocidade: \mathbf{v}(t)=(6t,10t). Em t=3:
\mathbf{v}(3)=(6\cdot 3,\;10\cdot 3)=(18,\;30)\\ \mathrm{m/s}.
Aceleração: \mathbf{a}(t)=(6,10) independe de t, logo em t=3 temos
\mathbf{a}(3)=(6,\;10)\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Interpretação rápida e lembrete prático para a prova: a velocidade é a taxa de variação da posição; em trajetória plana tratamos componentes x e y separadamente. Para polinômios em t use sempre a regra do poder. A aceleração é a derivada da velocidade, e se as componentes da velocidade são lineares em t (como aqui), a aceleração será constante (número sem t). Respira fundo — você conseguiu!

Resposta

\mathbf{r}(3)=(27,\;57)\\ \mathrm{m}
\mathbf{v}(3)=(18,\;30)\\ \mathrm{m/s}
\mathbf{a}(3)=(6,\;10)\\ \mathrm{m/s^{2}}

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