Uma particula se move em um plano
de tal forma que suas coordenadas
e y variam com 0 tempo de acordo com
e
. Aqui
e
estab expressos em metros e
segundos. Ache a posição, velocidade e aceleração da particula quando
.
Passo 1
O enunciado fornece as coordenadas da partícula no plano em função do tempo e pede a posição, a velocidade e a aceleração no instante
. Vou escrever explicitamente as funções que aparecem no enunciado (corrigindo a letra
para
, que parece ser um erro de digitação):
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A partir disso precisamos calcular:
- a posição
em ; - a velocidade
em ; - a aceleração
em .
Passo 2
Entendendo o que é posição, velocidade e aceleração em funções: a posição é dada diretamente pelas coordenadas
e
. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo; isto é, para cada coordenada calculamos a derivada temporal. A aceleração é a derivada da velocidade (ou seja, a segunda derivada da posição).
Regra que vamos usar (regra do polinômio / regra do poder):
onde
é um número real (no nosso caso inteiro). Essa regra diz que para derivar
multiplicamos por
e diminuímos o expoente em 1.
Passo 3
Calculemos a velocidade
aplicando a regra do poder coordenada a coordenada.
Derivando
:
Derivando
:
Portanto a velocidade geral é
Passo 4
Agora calculemos a aceleração
derivando
em relação ao tempo.
Derivando
:
Derivando
:
Logo a aceleração é constante:
Passo 5
Avalie posição, velocidade e aceleração no instante
.
Posição:
. Calculando cada coordenada em
:
Portanto
.
Velocidade:
. Em
:
Aceleração:
independe de
, logo em
temos
Passo 6
Interpretação rápida e lembrete prático para a prova: a velocidade é a taxa de variação da posição; em trajetória plana tratamos componentes
e
separadamente. Para polinômios em
use sempre a regra do poder. A aceleração é a derivada da velocidade, e se as componentes da velocidade são lineares em
(como aqui), a aceleração será constante (número sem
). Respira fundo — você conseguiu!