Qual superfície gaussiana permite que se use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico fora de um cubo uniformemente carregado? Explique.
a) Uma esfera cujo centro coincide com o centro do cubo carregado.
b) Um cubo cujo centro coincide com o centro do cubo carregado e que tem faces paralelas.
c) Tanto a) como b).
d) Nem a) e nem b).

Passo 1

O enunciado pergunta qual superfície gaussiana permite usar a lei de Gauss para determinar o campo elétrico fora de um cubo uniformemente carregado.
Dados do enunciado:
  • Há um cubo com distribuição de carga volumétrica uniforme (ou seja, densidade de carga constante em todo o volume do cubo).
  • Devemos escolher entre as opções:
    a) Uma esfera cujo centro coincide com o centro do cubo carregado.
    b) Um cubo cujo centro coincide com o centro do cubo carregado e que tem faces paralelas.
    c) Tanto a) como b).
    d) Nem a) e nem b).

Passo 2

Apresentando a lei de Gauss e o que ela nos dá. A lei integral de Gauss é
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície S.
  • d\mathbf{A} é o elemento de área da superfície, com direção normal apontando para fora.
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida no volume delimitado por S.
  • \varepsilon_{0} é a constante dielétrica do vácuo.
    Esta equação é sempre verdadeira, para qualquer superfície fechada S. O ponto importante: conhecer essa integral não implica automaticamente conhecer \mathbf{E} localmente — só dá o fluxo total através de S.

Passo 3

Quando a lei de Gauss nos permite determinar diretamente o campo \mathbf{E} em cada ponto da superfície? Condição prática usada em provas: para extrair \mathbf{E} da integral precisamos que, sobre a superfície escolhida, o produto \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} seja simples de integrar — tipicamente isso acontece se \mathbf{E} tiver direção e magnitude constantes (ou com ângulo constante com d\mathbf{A}) em toda a porção da superfície usada. Em outras palavras, precisamos de simetria suficiente de modo que:
  • a direção de \mathbf{E} em cada ponto da superfície seja conhecida (por exemplo, radial) e
  • o módulo |\mathbf{E}| seja o mesmo para todos os pontos de mesma “classe” da superfície (por exemplo, todos os pontos com mesma distância ao centro).
    Casos típicos em que funciona bem: distribuição esfericamente simétrica (esfera concêntrica), cilindricamente simétrica (cilindro concêntrico), e simetria plana infinita (plano infinito). Nesses casos podemos tirar |\mathbf{E}| fora da integral e resolver.

Passo 4

Exemplo didático (rápido) para fixar a ideia: carga pontual Q no centro. Escolhemos uma superfície esférica de raio r centrada na carga. A simetria esférica garante que \mathbf{E} é radial e |\mathbf{E}| é constante em toda a esfera, então
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\oint_{S}dA=E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}},
daí
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}.
Esse cálculo só foi possível porque a distribuição (carga pontual) tem a mesma simetria que a superfície escolhida (esfericidade). Esse é o tipo de “caso feliz” que torna a lei de Gauss prática.

Passo 5

Aplicando isso à opção (a): esfera centrada no centro do cubo carregado.
  • Observação sobre simetria: uma esfera tem simetria contínua (rotacional em qualquer eixo) — para que o campo em sua superfície seja de módulo constante precisamos que a distribuição de carga interna seja também esfericamente simétrica (o que significa que a densidade depende apenas da distância ao centro).
  • No nosso caso a densidade é uniforme dentro de um cubo, mas a forma do cubo quebra a simetria esférica: a distribuição não é a mesma ao girar livremente em torno do centro (por exemplo, ao girar 45° a geometria da carga não coincide com ela mesma).
  • Consequência: sobre uma esfera centrada no cubo, o vetor \mathbf{E} em pontos diferentes da esfera não terá, em geral, o mesmo módulo nem a mesma direção relativa à normal. Portanto não podemos retirar |\mathbf{E}| da integral e obter uma expressão simples para \mathbf{E} em função de r.
    Conclusão parcial: a esfera centrada (opção a) NÃO fornece a simetria necessária para determinar o campo externo do cubo apenas com a lei de Gauss.

Passo 6

Aplicando isso à opção (b): um cubo concêntrico com faces paralelas ao cubo carregado.
  • A distribuição de carga (o próprio cubo carregado) tem a simetria do cubo (grupo de simetrias discretas: rotações de 90^\circ em torno de eixos que passam pelos centros das faces, reflexões, etc.). Essas simetrias fazem com que algumas propriedades globais sejam iguais, por exemplo: por simetria, o fluxo total através de cada face de um cubo Gaussiano concêntrico será o mesmo (faces são equivalentes pelo grupo de simetrias). Então a lei de Gauss garante que o fluxo total \oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{int}}/\varepsilon_{0} e, por simetria, esse fluxo se divide igualmente entre as seis faces se a superfície escolhida for um cubo concêntrico e orientado da mesma forma.
  • Atenção importante: saber o fluxo através de uma face (ou fluxos iguais por face) não é o mesmo que saber o campo ponto a ponto sobre a face. Para usar Gauss de forma a obter \mathbf{E} em um ponto da face precisamos que \mathbf{E} seja constante sobre aquela face (ou que o ângulo entre \mathbf{E} e d\mathbf{A} seja constante e conhecido). No caso do cubo carregado uniformemente, a simetria discreta não garante que |\mathbf{E}| seja o mesmo em todos os pontos de uma face do cubo Gaussiano. Ela garante apenas que certas posições (por exemplo, centros das faces) sejam equivalentes entre si e que componentes tangenciais em pontos simetricamente dispostos se cancelem.
  • Por exemplo, no ponto central de cada face o campo será perpendicular à face (por simetria), mas o valor numérico |\mathbf{E}| nesse ponto não é imediatamente obtido da lei de Gauss porque o campo varia de ponto para ponto sobre a face. A lei de Gauss nos dá apenas o fluxo total pela face (ou fluxo médio), não o valor do campo em cada ponto. Para obter |\mathbf{E}| em um ponto preciso é preciso calcular a integral (ou aplicar outras técnicas), o que normalmente exige resolver integrais de contribuição de todo o volume carregado — ou seja, não é resolução simples via Gauss.
    Conclusão parcial: o cubo concêntrico orientado (opção b) também não fornece a condição de constância de |\mathbf{E}| em cada face necessária para extrair o campo em todos os pontos usando apenas a lei de Gauss.

Passo 7

Resumo didático e intuição física final:
  • A lei de Gauss é sempre verdadeira, mas só “resolve facilmente” o campo quando a superfície escolhida tem simetria contínua compatível com a da distribuição (ex.: esfera para simetria esférica, cilindro para simetria cilíndrica).
  • Um cubo uniformemente carregado tem apenas simetrias discretas (rotações/reflexões que trocam faces, arestas e vértices), insuficientes para garantir que |\mathbf{E}| seja constante sobre uma esfera ou sobre cada face de um cubo Gaussiano. Assim não conseguimos, a partir de Gauss simples, escrever \mathbf{E} fora do cubo em forma fechada apenas pela contagem de fluxo e simetrias.
  • Conclusão prática: nem a esfera centrada nem o cubo concêntrico permitem, por simetria simples, usar diretamente a lei de Gauss para obter o campo elétrico em todos os pontos fora do cubo. Seria necessário calcular diretamente a contribuição das parcelas de carga (integrais) ou usar aproximações (por exemplo, no limite de distâncias muito grandes a distribuição se comporta como carga pontual).

Passo 8

Motivação final e encorajamento: é raro que distribuições com formas geométricas “não uniformemente isotrópicas” (como um cubo) permitam uma aplicação direta e simples da lei de Gauss para achar o campo ponto a ponto. Não desanime: na prova, reconhecer quando Gauss é útil (simbiose de superfície-distribuição) já economiza muito tempo — aqui o reconhecimento leva à resposta.

Resposta

d) Nem a) e nem b).

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