O pêndulo de um relógio feito de invar (Tabela 19-3) tem período de 0,50 \mathrm{~s} e é exato a 20^{\circ} \mathrm{C}. Se levarmos o relógio para um local à temperatura 30^{\circ} \mathrm{C}, qual a correção necessária aproximada do relógio, após 30 dias? -

Passo 1

O enunciado pede para calcular a correção (quanto o relógio atrasa ou adianta) quando um pêndulo feito de invar, que tem período \,T=0,50\\ \mathrm{s}\, e é exato a \,20^\circ\mathrm{C}\,, é levado para \,30^\circ\mathrm{C}\,. Devemos estimar a correção após 30 dias.
Informações dadas e usadas:
  • Período inicial do pêndulo: \,T=0,50\\ \mathrm{s}\,.
  • Temperatura inicial: \,20^\circ\mathrm{C}\,.
  • Temperatura final: \,30^\circ\mathrm{C}\,.
  • Variação de temperatura: \Delta T_{\text{temp}}=30^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=10^\circ\mathrm{C}.
  • Valor do coeficiente de expansão linear do invar: peguei este valor na Tabela 19-3 (conforme o enunciado indica). Vou usar \,\alpha = 1,2\times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}\,.
  • Intervalo de tempo para a correção: 30 dias =30\cdot24\cdot3600=2\,592\,000\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entender como a temperatura afeta o período do pêndulo. A fórmula do período de um pêndulo simples (pequenas oscilações) é:
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
onde:
  • \,T\, é o período (tempo de uma oscilação),
  • \,L\, é o comprimento do pêndulo,
  • \,g\, é a aceleração da gravidade (constante local).
    Explicação simples: se o comprimento L aumenta, o pêndulo demora mais a completar uma oscilação, então T aumenta.

Passo 3

Relacionar a mudança de temperatura com a mudança do comprimento. A expansão linear diz que, para pequena variação térmica,
\Delta L = \alpha L \,\Delta T_{\text{temp}},
onde \alpha é o coeficiente de expansão linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}) e \Delta L é a variação de comprimento. Isso significa que o novo comprimento é L' = L + \Delta L = L(1+\alpha\Delta T_{\text{temp}}).

Passo 4

Encontrar a variação relativa do período usando L' = L(1+\alpha\Delta T_{\text{temp}}). Substituindo na fórmula do período:
T' = 2\pi\sqrt{\frac{L'}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{L(1+\alpha\Delta T_{\text{temp}})}{g}} = T\sqrt{1+\alpha\Delta T_{\text{temp}}}.
Como \alpha\Delta T_{\text{temp}} é muito pequeno, usamos a aproximação da raiz:
\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}\quad\text{para }|x|\ll1.
Logo a variação relativa do período é
\frac{T'-T}{T} \approx \frac{1}{2}\,\alpha\Delta T_{\text{temp}}.
Aqui explico cada símbolo:
  • \frac{T'-T}{T} é a fração de variação do período (quanto muda em relação ao original),
  • \alpha é o coeficiente de expansão (peguei da tabela),
  • \Delta T_{\text{temp}} é a mudança de temperatura (em graus Celsius).

Passo 5

Substituir números para achar a variação fracionária:
\frac{T'-T}{T} \approx \frac{1}{2}\cdot\left(1,2\times 10^{-6}\right)\cdot 10 = 6,0\times 10^{-6}.
Interpretação: o período aumenta em uma fração aproximadamente \,6,0\times 10^{-6}\,, ou seja, cada oscilação fica maior em \,6,0\times 10^{-6}\times T segundos.

Passo 6

Calcular quanto tempo o relógio atrasa em 30 dias. Se cada período cresce na mesma fração, o relógio marcará o tempo real multiplicado por (1+6,0\times10^{-6}). Assim, depois de um tempo real t o atraso aproximado é
\Delta t \approx \left(\frac{T'-T}{T}\right)\cdot t \approx 6,0\times 10^{-6}\cdot t.
Tomando t = 30 dias = 2\,592\,000\\ \mathrm{s},
\Delta t \approx 6,0\times 10^{-6}\cdot 2\,592\,000 = 15,552\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente, \Delta t \approx 15,6\\ \mathrm{s}. O sinal: como o período aumentou, o relógio anda mais devagar e, portanto, atrasa esse tempo.

Resposta

O relógio atrasa aproximadamente 15,6\\ \mathrm{s} em 30 dias.

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