O pêndulo de um relógio feito de invar (Tabela 19-3) tem período de
e é exato a
. Se levarmos o relógio para um local à temperatura
, qual a correção necessária aproximada do relógio, após 30 dias? -
Passo 1
O enunciado pede para calcular a correção (quanto o relógio atrasa ou adianta) quando um pêndulo feito de invar, que tem período
e é exato a
, é levado para
. Devemos estimar a correção após 30 dias.
Informações dadas e usadas:
Informações dadas e usadas:
- Período inicial do pêndulo:
. - Temperatura inicial:
. - Temperatura final:
. - Variação de temperatura:
. - Valor do coeficiente de expansão linear do invar: peguei este valor na Tabela 19-3 (conforme o enunciado indica). Vou usar
. - Intervalo de tempo para a correção: 30 dias
.
Passo 2
Entender como a temperatura afeta o período do pêndulo. A fórmula do período de um pêndulo simples (pequenas oscilações) é:
onde:
-
é o período (tempo de uma oscilação), -
é o comprimento do pêndulo, -
é a aceleração da gravidade (constante local).
Explicação simples: se o comprimentoaumenta, o pêndulo demora mais a completar uma oscilação, então aumenta.
Passo 3
Relacionar a mudança de temperatura com a mudança do comprimento. A expansão linear diz que, para pequena variação térmica,
onde
é o coeficiente de expansão linear (unidade
) e
é a variação de comprimento. Isso significa que o novo comprimento é
.
Passo 4
Encontrar a variação relativa do período usando
. Substituindo na fórmula do período:
Como
é muito pequeno, usamos a aproximação da raiz:
Logo a variação relativa do período é
Aqui explico cada símbolo:
-
é a fração de variação do período (quanto muda em relação ao original), -
é o coeficiente de expansão (peguei da tabela), -
é a mudança de temperatura (em graus Celsius).
Passo 5
Substituir números para achar a variação fracionária:
Interpretação: o período aumenta em uma fração aproximadamente
, ou seja, cada oscilação fica maior em
segundos.
Passo 6
Calcular quanto tempo o relógio atrasa em 30 dias. Se cada período cresce na mesma fração, o relógio marcará o tempo real multiplicado por
. Assim, depois de um tempo real
o atraso aproximado é
Tomando
= 30 dias =
,
Arredondando razoavelmente,
. O sinal: como o período aumentou, o relógio anda mais devagar e, portanto, atrasa esse tempo.
Resposta
O relógio atrasa aproximadamente
em 30 dias.