3 O calor de vaporização da água é de 40670 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} no ponto normal de ebulição. A pressão barométrica em uma cidade é de 620 torr. Calcule o ponto de ebulição da água nesta cidade.

Passo 1

O enunciado pede o ponto de ebulição da água numa cidade onde a pressão barométrica é \,620\\ \text{torr}\,. As informações fornecidas são:
  • Calor de vaporização no ponto normal de ebulição: \Delta H_{\text{vap}} = 40670\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Pressão local: P_2 = 620\\ \text{torr}.
  • Ponto normal de ebulição (referência): ponto de ebulição a P_1 = 760\\ \text{torr} corresponde a T_1 = 373{,}15\\ \text{K} (isto é 100{,}00^\circ\text{C}).
  • Vamos assumir que \Delta H_{\text{vap}} é constante na faixa de temperatura considerada (aproximação usual para usar a equação de Clausius–Clapeyron).
  • Constante dos gases: R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
O que é pedido: determinar o novo ponto de ebulição T_2 (em K e em °C) quando a pressão de ebulição é P_2=620\\ \text{torr}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, sem pânico):
  • A ebulição acontece quando a pressão de vapor do líquido iguala a pressão externa. Portanto mudar a pressão externa muda a temperatura de ebulição.
  • A relação que liga pressões e temperaturas para vaporação, sob a aproximação de \Delta H_{\text{vap}} constante, é a forma integrada da equação de Clausius–Clapeyron:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = -\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\!\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Explicando cada coisa:
  • P_1 e P_2 são as pressões de vapor correspondentes a T_1 e T_2.
  • \Delta H_{\text{vap}} é o calor molar de vaporização (unidade \mathrm{J\,mol^{-1}}).
  • R é a constante universal dos gases (unidade \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
  • \ln é o logaritmo natural.
    Essa fórmula vem de integrar a equação diferencial de Clausius–Clapeyron \dfrac{d\ln P}{dT}=\dfrac{\Delta H_{\text{vap}}}{R T^2} assumindo \Delta H_{\text{vap}} constante.

Passo 3

Isolar T_2 na equação. Começamos reescrevendo a equação de forma conveniente:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = -\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Multiplicando por -\dfrac{R}{\Delta H_{\text{vap}}} e isolando \dfrac{1}{T_2}:
\frac{1}{T_2} = \frac{1}{T_1} - \frac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}\,\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Portanto
T_2 = \frac{1}{\dfrac{1}{T_1} - \dfrac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}\,\ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos. Primeiro note que podemos usar a razão de pressões em torr porque a unidade cancela (é uma razão): \dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{620}{760}.
Calculemos passo a passo os termos numéricos (tudo em unidades do SI dentro das fórmulas: T em K, \Delta H em J/mol, R em J/mol·K).
  1. Razão de pressões e seu logaritmo:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{620}{760}=0{,}8157894737\ldots
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln(0{,}8157894737\ldots) \approx -0{,}203598955.
  1. Fator \dfrac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}:
\frac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}=\frac{8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}}{40670\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}}\approx 0{,}0002044522\\ \mathrm{K^{-1}}.
  1. Produto com o logaritmo:
\frac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}\,\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\approx 0{,}0002044522\times(-0{,}203598955)\approx -0{,}0000416505\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 5

Agora calcular 1/T_2 e então T_2.
  1. 1/T_1 com T_1=373{,}15\\ \text{K}:
\frac{1}{T_1}=\frac{1}{373{,}15}\approx 0{,}002678933\\ \mathrm{K^{-1}}.
  1. Somando o termo (repare no sinal: é menos o produto; como o produto é negativo, na prática somamos):
\frac{1}{T_2}=\frac{1}{T_1}-\frac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) \approx 0{,}002678933 - (-0{,}0000416505) =0{,}0027205835\\ \mathrm{K^{-1}}.
  1. Invertendo para obter T_2:
T_2=\frac{1}{0{,}0027205835}\approx 367{,}6\\ \text{K}.
  1. Converter para Celsius:
T_2(^{\circ}\text{C}) = 367{,}6 - 273{,}15 = 94{,}5^\circ\text{C}.
Interpretação rápida e encorajamento: como a pressão é menor que a pressão normal ( 620<760\\ \text{torr}), a água ferve a uma temperatura menor que 100{,}0^\circ\text{C} — aqui cerca de 94{,}5^\circ\text{C}. Boa! Conseguimos chegar lá com passos direitinho.

Resposta

T_2 \approx 367{,}6\\ \text{K}
T_2 \approx 94{,}5^\circ\text{C}

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