No equilíbrio sólido - gás da amônia, é encontrado experimentalmente que a pressão de vapor obedece a equação (1) no intervalo de temperatura de 146 K a 195 K. Use a equação de Clausius-Clayperon, (equação 2) e a equação 1 para encontrar a expressão da entalpia de sublimação neste intervalo de temperatura.
\begin{aligned} & \ln (p / t o r r)=-\frac{4124,4}{T}-1,81630 \ln (T / K)+34,4834 \\\ & \frac{d p}{d T}=\frac{\Delta S}{\Delta V} \end{aligned}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • O enunciado fornece a dependência experimental da pressão de vapor (sublimação) da amônia no intervalo 146\\ \text{K} a 195\\ \text{K}:
\ln\!\bigl(p/\text{torr}\bigr) = -\frac{4124,4}{T} - 1,81630\,\ln\!\bigl(T/\text{K}\bigr) + 34,4834.
  • O enunciado fornece também a forma da equação de Clausius–Clapeyron (na forma dada):
\frac{d p}{d T} = \frac{\Delta S}{\Delta V}.
  • O objetivo: usar a equação de Clausius–Clapeyron e a expressão experimental de p(T) para encontrar a expressão da entalpia de sublimação \Delta H_{\text{sub}} neste intervalo de temperaturas.

Passo 2

Primeiro, explicação do que é a entalpia de sublimação e relação com \Delta S.
  • A entalpia de sublimação \Delta H por mol é a energia necessária para transformar uma mol de sólido em gás à dada temperatura.
  • A variação de entropia associada ao processo, por definição termodinâmica, é \Delta S = \dfrac{\Delta H}{T}. Aqui T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • Substituindo \Delta S=\dfrac{\Delta H}{T} na equação dada de Clausius–Clapeyron obtemos a forma usual:
\frac{d p}{d T} = \frac{\Delta H}{T\,\Delta V}.
Explicação das variáveis: p é a pressão (por mol), T é a temperatura, \Delta V é a variação de volume molar na sublimação (volume do gás menos volume do sólido), e \Delta H é a entalpia molares que queremos.

Passo 3

Aproximação que permite eliminar \Delta V usando o gás ideal e desprezando o volume sólido.
  • Na sublimação o volume molar do gás é muito maior que o do sólido, logo podemos aproximar \Delta V \approx V_{\text{g}} (volume molar do gás).
  • Pelo modelo do gás ideal, o volume molar do gás à temperatura T e pressão p é
V_{\text{g}} = \frac{R\,T}{p},
onde R é a constante universal dos gases. Aqui R em unidades compatíveis (por exemplo R=8,314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
  • Substituindo \Delta V\approx \dfrac{R T}{p} na fórmula de Clausius–Clapeyron:
\frac{d p}{d T} = \frac{\Delta H}{T}\cdot\frac{1}{\Delta V} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d p}{d T} = \frac{\Delta H}{T}\cdot\frac{p}{R T} = \frac{p}{R T^{2}}\,\Delta H.
  • Isolando \Delta H obtemos:
\Delta H = R\,T^{2}\,\frac{1}{p}\,\frac{d p}{d T}.

Passo 4

Simplificação usando a derivada de \ln p.
  • Note que \dfrac{1}{p}\dfrac{d p}{d T} = \dfrac{d}{d T}\bigl(\ln p\bigr). Essa igualdade é uma identidade básica de derivadas: se y=p(T), então \dfrac{d}{dT}\ln p = \dfrac{1}{p}\dfrac{dp}{dT}.
  • Substituindo na expressão anterior:
\Delta H = R\,T^{2}\,\frac{d}{d T}\bigl(\ln p\bigr).
Esta forma é prática: basta derivar a expressão experimental de \ln p em relação a T, multiplicar por R T^{2} e obtemos \Delta H(T).

Passo 5

Calcular a derivada \dfrac{d}{dT}\bigl(\ln p\bigr) a partir da expressão experimental fornecida.
  • A expressão dada é (repito para clareza):
\ln\!\bigl(p/\text{torr}\bigr) = -\frac{4124,4}{T} - 1,81630\,\ln\!\bigl(T/\text{K}\bigr) + 34,4834.
  • Como \ln(p/\text{torr}) difere de \ln p por uma constante ( -\ln(\text{torr})), a derivada em relação a T é a mesma que a derivada de \ln p. Ou seja, podemos derivar o lado direito diretamente.
  • Derivando termo a termo:
    • \dfrac{d}{dT}\!\left(-\dfrac{4124,4}{T}\right) = \dfrac{4124,4}{T^{2}} (porque -a T^{-1}’ = a T^{-2}).
    • \dfrac{d}{dT}\!\left(-1,81630\,\ln T\right) = -1,81630\cdot\dfrac{1}{T}.
    • A constante 34,4834 tem derivada zero.
  • Portanto
\frac{d}{dT}\bigl(\ln p\bigr) = \frac{4124,4}{T^{2}} - \frac{1,81630}{T}.

Passo 6

Substituir a derivada na expressão para \Delta H e simplificar.
  • Usando \Delta H = R\,T^{2}\,\dfrac{d}{dT}(\ln p) e a derivada obtida:
\Delta H(T) = R\,T^{2}\!\left(\frac{4124,4}{T^{2}} - \frac{1,81630}{T}\right).
  • Simplificando os fatores T:
\Delta H(T) = R\!\left(4124,4 - 1,81630\,T\right).
Esta é a expressão analítica da entalpia molar de sublimação em função da temperatura T (para 146\\ \text{K}\le T\le195\\ \text{K}), obtida diretamente da equação experimental de \ln p e da Clausius–Clapeyron com as aproximações explicadas.

Passo 7

Interpretação prática e forma numérica.
  • Se quiser a expressão em unidades práticas (J·mol^{-1}), usar R=8,314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}. Multiplicando:
\Delta H(T)\approx 8,314462618\left(4124,4 - 1,81630\,T\right)\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Expandindo os coeficientes (aproximação numérica):
\Delta H(T)\approx 34292,2 - 15,1018\,T\quad\text{(J·mol}^{-1}\text{)}.
  • Em kJ·mol^{-1}:
\Delta H(T)\approx 34,2922 - 0,0151018\,T\quad\text{(kJ·mol}^{-1}\text{)}.
  • Observação sobre validade: esta expressão é válida no intervalo experimental 146\\ \text{K} a 195\\ \text{K} e depende das aproximações feitas (gás ideal e V_{\text{sólido}}ó desprezível).

Resposta

\displaystyle \Delta H(T)=R\!\left(4124,4-1,81630\,T\right)
\displaystyle \Delta H(T)\approx 8,314462618\left(4124,4-1,81630\,T\right)\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}
\displaystyle \Delta H(T)\approx 34292,2-15,1018\,T\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}

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