Determine o valor de dT/dP para a água em seu ponto normal de ebulição a 373,15 \mathrm{~K}, sabendo que a entalpia de vaporização é 40,65 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}, que a densidade do líquido e do vapor são 0,9584 \mathrm{~g} \mathrm{~mL}^{-1} e 0,0610 \mathrm{~g} \mathrm{~L}^{-1}, respectivamente e estime o ponto de ebulição da água a 5 atm .
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar o valor de \dfrac{dT}{dP} para a água no ponto normal de ebulição (T=373{,}15\\ \mathrm{K}, pressão 1\\ \mathrm{atm}).
Estimar o ponto de ebulição da água a 5\\ \mathrm{atm}.
Informações fornecidas (peguei do enunciado):
Entalpia de vaporização: \Delta H_{\text{vap}} = 40{,}65\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
Densidade do líquido: \rho_{\ell}=0{,}9584\\ \mathrm{g\\ mL^{-1}}.
Densidade do vapor (saturado a 100^\circ\mathrm{C}, segundo o enunciado): \rho_{g}=0{,}0610\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}.
Temperatura do ponto de ebulição normal: T=373{,}15\\ \mathrm{K}.
Observações iniciais de unidades que vou usar:
Vou trabalhar em unidades SI para aplicar a equação de Clapeyron: volume molar em \mathrm{m^{3}\\ mol^{-1}}, \Delta H em \mathrm{J\\ mol^{-1}}, pressão em \mathrm{Pa}.
Massa molar da água usada: M=18{,}015\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
Passo 2
Fórmula que relaciona T e P na mudança de fase (Clapeyron) e simplificação:
A equação de Clapeyron geral é
\frac{dP}{dT}=\frac{\Delta H}{T\,\Delta V},
onde
\Delta H é a entalpia molar de mudança de fase (\mathrm{J\\ mol^{-1}}),
T é a temperatura absoluta (\mathrm{K}),
\Delta V é a variação do volume molar entre as fases (\mathrm{m^{3}\\ mol^{-1}}), isto é \Delta V=V_{g}-V_{\ell}.
Nós queremos \dfrac{dT}{dP}. Invertendo a expressão:
\frac{dT}{dP}=\frac{T\,\Delta V}{\Delta H}.
Explicando as variáveis de forma simples:
\dfrac{dT}{dP} dá quanto a temperatura de ebulição varia quando a pressão muda (unidade natural: \mathrm{K\\ Pa^{-1}}).
Para usar essa fórmula preciso calcular \Delta V por mol usando as densidades fornecidas e converter tudo para SI.
Passo 3
Cálculo do volume molar do líquido (V_{\ell}) e do vapor (V_{g}) a partir das densidades dadas.
Converter densidades para unidades compatíveis:
Densidade do líquido: \rho_{\ell}=0{,}9584\\ \mathrm{g\\ mL^{-1}}.
Como 1\\ \mathrm{mL}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{L}, então \rho_{\ell}=0{,}9584\\ \mathrm{g\\ mL^{-1}}=958{,}4\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}.
Densidade do vapor: \rho_{g}=0{,}0610\\ \mathrm{g\\ L^{-1}} (já em \mathrm{g\\ L^{-1}}).
Volume molar em \mathrm{L\\ mol^{-1}} é V = \dfrac{M}{\rho}, onde M está em \mathrm{g\\ mol^{-1}} e \rho em \mathrm{g\\ L^{-1}}.
Comentário sobre a razoabilidade (didático e importante):
O valor obtido para \dfrac{dT}{dP} e, consequentemente, a estimativa de T_{5\\ \mathrm{atm}} são extremamente grandes (aumento de mais de 1000\\ \mathrm{K} ao subir de 1 para 5\\ \mathrm{atm}), o que é fisicamente absurdo comparado com dados experimentais (a temperatura de ebulição a 5\\ \mathrm{atm} é da ordem de algumas centenas de graus Celsius, não >1000\\ \mathrm{K}).
A causa dessa discordância é a densidade do vapor fornecida (\rho_{g}=0{,}0610\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}), que leva a um volume molar de vapor muito grande (\approx295\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}}). Para vapor saturado de água a 100^\circ\mathrm{C} o valor esperado (pela lei dos gases ou tabelas de vapor) é cerca de 30{,}6\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}} (\rho_{g}\approx0{,}598\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}). Se a densidade correta fosse \approx0{,}598\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}, os valores ficarão de ordem de \sim 27\\ \mathrm{K\\ atm^{-1}} e a estimativa para 5\\ \mathrm{atm} seria razoável.
Conclusão prática: os cálculos acima seguem estritamente os dados do enunciado; entretanto os números fornecidos (principalmente \rho_{g}) parecem inconsistentes com vapor saturado de água a 100^\circ\mathrm{C}, daí o resultado irreal. Em provas, se os dados levarem a resultados obviamente absurdos, vale comentar essa inconsistência (como fiz aqui).