Uma camada de 240 mm de óleo de 840 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} de densidade flutua sobre uma camada de 360 mm de água em um tanque. Determine a pressão absoluta e a pressão manométrica (a) na interface óleo-água, (b) no fundo da camada de água
10) Uma bola maciça de madeira flutua no fluido do exercício anterior, e está em equilíbrio com a metade superior no óleo e a metade inferior na água. Qual a densidade da madeira?

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos um tanque aberto à atmosfera contendo duas camadas estáticas em equilíbrio: uma de óleo de densidade \rho_{o}=840\\ \mathrm{kg/m^{3}} e espessura h_{o}=240\\ \mathrm{mm}, sobre uma de água de densidade \rho_{w}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e espessura h_{w}=360\\ \mathrm{mm}. O objetivo é calcular em dois pontos (a) na interface óleo-água e (b) no fundo da camada de água, tanto a pressão manométrica (gauge) quanto a pressão absoluta, e depois determinar a densidade de uma bola de madeira que flutua com metade do volume imerso em óleo e metade em água.

Passo 2

Para qualquer ponto em um fluido estático, a pressão absoluta é
p = p_{\mathrm{atm}} + p_{g},
onde p_{g} é a pressão manométrica devido à coluna de fluido acima do ponto e p_{\mathrm{atm}} é a pressão atmosférica p_{\mathrm{atm}}=101325\\ \mathrm{Pa}. A pressão manométrica de uma coluna única é
p_{g} = \rho\,g\,h,
com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, \rho densidade e h altura da coluna.

Passo 3

(a) Na interface óleo-água a única coluna acima é a de óleo de altura \,h_{o}=240\\ \mathrm{mm}=0{,}240\\ \mathrm{m}. Logo a pressão manométrica ali é
p_{g1} = \rho_{o}\,g\,h_{o} = 840 \times 9{,}81 \times 0{,}240 \approx 1977{,}7\\ \mathrm{Pa}\approx1{,}98\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

A pressão absoluta na interface é
p_{1} = p_{\mathrm{atm}} + p_{g1} = 101325 + 1977{,}7 \approx 103302{,}7\\ \mathrm{Pa}\approx103{,}3\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

(b) No fundo da água a coluna acima é a soma da de óleo e da de água. Já temos p_{g1} da camada de óleo; somamos a da água de altura \,h_{w}=360\\ \mathrm{mm}=0{,}360\\ \mathrm{m}:
p_{g2} = p_{g1} + \rho_{w}\,g\,h_{w} = 1977{,}7 + 1000 \times 9{,}81 \times 0{,}360 \approx 1977{,}7 + 3531{,}6 = 5509{,}3\\ \mathrm{Pa}\approx5{,}51\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

A pressão absoluta no fundo é
p_{2} = p_{\mathrm{atm}} + p_{g2} = 101325 + 5509{,}3 \approx 106834{,}3\\ \mathrm{Pa}\approx106{,}8\\ \mathrm{kPa}.

Passo 7

Para a bola de madeira em equilíbrio flutuando com metade do volume em óleo e metade em água, aplicamos o princípio de Arquimedes:
\rho_{\mathrm{madeira}}\,g\,V = \rho_{o}\,g\,\frac{V}{2} + \rho_{w}\,g\,\frac{V}{2}.
Cancelando gV em ambos os lados,
\rho_{\mathrm{madeira}} = \frac{\rho_{o} + \rho_{w}}{2} = \frac{840 + 1000}{2} = 920\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Resposta

(a) Interface óleo-água:
gauge p_{g1}\approx1{,}98\\ \mathrm{kPa}, absoluta p_{1}\approx103{,}3\\ \mathrm{kPa}.
(b) Fundo da água:
gauge p_{g2}\approx5{,}51\\ \mathrm{kPa}, absoluta p_{2}\approx106{,}8\\ \mathrm{kPa}.
(10) Densidade da madeira: 920\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

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