The vector from the origin to the point A is given as ( 6,-2,-4 ), and the unit vector directed from the origin toward point B is (2,-2,1) / 3. If points A and B are ten units apart, find the coordinates of point B.

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto A cujo vetor posição em relação à origem é
\overrightarrow{OA}=(6,-2,-4),
e nos diz que o vetor unitário na direção de B é
\mathbf{u}=\frac{(2,-2,1)}{3}.
Também sabemos que a distância entre A e B vale 10. Para achar as coordenadas de B, vamos usar geometria vetorial: se \overrightarrow{OB}=\lambda\,\mathbf{u}, então a condição \lvert \overrightarrow{AB}\rvert=10 vira uma equação para \lambda.

Passo 2

Escrevemos
\overrightarrow{OB}=\lambda\,\mathbf{u}, \quad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} =\lambda\,\mathbf{u} - \overrightarrow{OA},
e impomos
\bigl\lvert \overrightarrow{AB}\bigr\rvert =\bigl\lvert \lambda\,\mathbf{u} - \overrightarrow{OA}\bigr\rvert =10.
Ao quadrado isso dá
\bigl\lvert \lambda\,\mathbf{u} - \overrightarrow{OA}\bigr\rvert^2 =100.

Passo 3

Para desenvolver, precisamos de \mathbf{u}\cdot \overrightarrow{OA} e \lvert \overrightarrow{OA}\rvert^2. Calculamos
\mathbf{u}\cdot \overrightarrow{OA} =\frac{1}{3}\bigl(2\cdot6 + (-2)\cdot(-2) + 1\cdot(-4)\bigr) =\frac{12 + 4 - 4}{3} =\frac{12}{3} =4,
e
\lvert \overrightarrow{OA}\rvert^2 =6^2 + (-2)^2 + (-4)^2 =36 + 4 + 16 =56.

Passo 4

Expandindo
\lvert \lambda\,\mathbf{u} - \overrightarrow{OA}\rvert^2 =\lambda^2\lvert \mathbf{u}\rvert^2 -2\lambda\,(\mathbf{u}\cdot \overrightarrow{OA}) +\lvert \overrightarrow{OA}\rvert^2
e lembrando que \lvert \mathbf{u}\rvert=1, obtém-se a equação quadrática
\lambda^2 - 2\cdot4\,\lambda + 56 = 100 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2 - 8\lambda - 44 = 0.

Passo 5

Resolvendo
\lambda =\frac{8 \pm \sqrt{8^2 - 4\cdot1\cdot(-44)}}{2} =\frac{8 \pm \sqrt{64 + 176}}{2} =\frac{8 \pm \sqrt{240}}{2} =\frac{8 \pm 4\sqrt{15}}{2} =4 \pm 2\sqrt{15}.
Como \overrightarrow{OB}=\lambda\,\mathbf{u} deve apontar na mesma direção de \mathbf{u}, escolhemos \lambda=4+2\sqrt{15} (o outro é negativo).

Passo 6

Finalmente,
\overrightarrow{OB} =(4+2\sqrt{15})\,\frac{(2,-2,1)}{3} =\Bigl(\frac{8+4\sqrt{15}}{3},\,\frac{-8-4\sqrt{15}}{3},\,\frac{4+2\sqrt{15}}{3}\Bigr).

Resposta

As coordenadas de B são
\boxed{\Bigl(\tfrac{8+4\sqrt{15}}{3},\;\tfrac{-8-4\sqrt{15}}{3},\;\tfrac{4+2\sqrt{15}}{3}\Bigr)}.

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