Uma bola maciça de madeira flutua no fluido do exercício anterior, e está em equilíbrio com a metade superior no óleo e a metade inferior na água. Qual a densidade da madeira?

Passo 1

O enunciado diz que uma esfera maciça de madeira flutua em equilíbrio, com metade do seu volume imerso em óleo e a outra metade em água. O conteúdo é o Princípio de Arquimedes, que afirma que a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado. Para resolver, precisaremos das densidades do óleo \rho_{\text{óleo}}ó e da água \rho_{\text{água}}á e do volume total da esfera V.

Passo 2

Escrevemos o peso da madeira como
P_{\text{madeira}} = m_{\text{madeira}}\,g = \rho_{\text{madeira}}\,V\,g.

Passo 3

A força de empuxo é a soma dos pesos dos volumes de óleo e de água deslocados:
E = \rho_{\text{óleo}}\,V_{\text{óleo}}\;g \;+\;\rho_{\text{água}}\,V_{\text{água}}\;g.óóáá

Passo 4

Como metade do volume da esfera está em óleo e metade em água, temos
V_{\text{óleo}} = \tfrac12V, \quad V_{\text{água}} = \tfrac12V.óá
Em equilíbrio, P_{\text{madeira}} = E, logo
\rho_{\text{madeira}}\,V\,g = \rho_{\text{óleo}}\,\bigl(\tfrac12V\bigr)\,g + \rho_{\text{água}}\,\bigl(\tfrac12V\bigr)\,g.óá

Passo 5

Cancelando Vg em ambos os lados e isolando \rho_{\text{madeira}}, obtemos
\rho_{\text{madeira}} =\frac{\rho_{\text{óleo}} + \rho_{\text{água}}}{2}.óá

Resposta

A densidade da madeira é
\rho_{\text{madeira}} =\frac{\rho_{\text{óleo}} + \rho_{\text{água}}}{2}.óá
Se, por exemplo, \rho_{\text{água}}=1000á,kg/ m^{3} e \rho_{\text{óleo}}=800ó,kg/ m^{3}, então \rho_{\text{madeira}}=900,kg/ m^{3}.

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