1. O recalque total de um edifício construído sobre uma camada de argila rija, com 18 m de espessura, foi de 5,26 \mathrm{~cm}. Sabendo-se que a pressão média, na camada de argila, aumentou de 0,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2}, pede-se determinar o seu coeficiente de decréscimo de volume.
    Resp.: \mathrm{m}_{\mathrm{v}}=0,0042 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{kg}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o coeficiente de decréscimo de volume m_v da camada de argila, sabendo os seguintes dados fornecidos:
  • Espessura da camada: H = 18\\ \mathrm{m}.
  • Recalque total (assentamento) observado: \Delta H = 5,26\\ \mathrm{cm}.
  • Aumento médio de pressão efetiva na camada: \Delta\sigma = 0,7\\ \mathrm{kg}/\mathrm{cm}^{2}.
A resposta procurada é o valor numérico de m_v em unidades de \mathrm{cm}^2/\mathrm{kg}.

Passo 2

Entendendo o que é m_v e a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Definição prática que usaremos: m_v é o coeficiente de compressibilidade vertical (coeficiente de decréscimo de volume) em um teste de adensamento unidimensional. Ele relaciona a deformação vertical específica (ou seja, a variação relativa de altura) com a variação de tensão vertical:
m_v=\frac{\Delta\varepsilon_v}{\Delta\sigma},
onde \Delta\varepsilon_v é a deformação vertical (adimensional) e \Delta\sigma é o incremento de tensão eficaz.
  • A deformação vertical \Delta\varepsilon_v é dada por
\Delta\varepsilon_v=\frac{\Delta H}{H},
isto é, assentamento dividido pela altura inicial.
  • Combinando as duas expressões obtemos a fórmula prática que usaremos no cálculo:
m_v=\frac{\Delta H}{H\,\Delta\sigma}.
Aqui:
  • \Delta H deve estar na mesma unidade linear usada para H (por isso converteremos H para cm),
  • \Delta\sigma em \mathrm{kg}/\mathrm{cm}^2 produzirá m_v em \mathrm{cm}^2/\mathrm{kg}.

Passo 3

Converter unidades para consistência (faça isso na prova também — unidades consistentes salvam vidas).
  • H = 18\\ \mathrm{m} = 18\times100\\ \mathrm{cm} = 1800\\ \mathrm{cm}. Escrevendo em TeX:
H=1800\\ \mathrm{cm}.
  • Os demais dados já estão em cm e \mathrm{kg}/\mathrm{cm}^2:
\Delta H=5,26\\ \mathrm{cm},\qquad \Delta\sigma=0,7\\ \mathrm{kg}/\mathrm{cm}^{2}.

Passo 4

Substituir na fórmula e calcular passo a passo.
A fórmula é
m_v=\frac{\Delta H}{H\,\Delta\sigma}.
Substituindo os números:
m_v=\frac{5,26}{1800\cdot 0,7}.
Calcule o denominador:
1800\cdot 0,7 = 1260.
Portanto
m_v=\frac{5,26}{1260}=0,00417460317\ldots\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{kg}.

Passo 5

Arredondamento e verificação rápida (para a prova: arredonde conforme precisão exigida).
  • Arredondando para duas casas decimais significativas no mantissa temos
m_v\approx 0,0042\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{kg}.
  • Verificação rápida: calcular m_v H \Delta\sigma para checar se volta ao assentamento:
0,0042\cdot 1800\cdot 0,7 \approx 5,292\\ \mathrm{cm},
que é muito próximo de 5,26\\ \mathrm{cm} (diferença pequena devido ao arredondamento), indicando consistência no cálculo.

Resposta

m_v=0,0042\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{kg}

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