4.5. A haste de aço A-36 está sujeita ao carregamento mostrado. Se a área de seção transversal da haste for 60 \mathrm{~mm}^{2}, determine o deslocamento de B e A. Despreze o tamanho

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar os deslocamentos de B e de A da haste vertical de aço A-36, sabendo que a área da seção transversal é A=60\\ \mathrm{mm}^2.
Informações que aparecem na figura (o que foi possível ler/interpretar da imagem enviada):
  • Área da seção: A=60\\ \mathrm{mm}^2.
  • A haste vertical está dividida em três trechos com comprimentos (conforme as leituras possíveis na figura): \text{AB}=0{,}50\\ \mathrm{m}, \text{BC}=1{,}50\\ \mathrm{m}, \text{CD}=0{,}75\\ \mathrm{m}.
  • Há duas cargas verticais de 2{,}0\\ \mathrm{kN} apontando para baixo próximas de A (dois lados simétricos).
  • A figura mostra duas barras inclinadas ligando o ponto C à região inferior, com um ângulo indicado de 60^\circ (mas não está claro se o ângulo é medido com a vertical ou com a horizontal na figura pequena e se esses membros estão em tração ou compressão).
  • Na figura aparecem valores destacados de 3{,}30\\ \mathrm{kN} associados às barras inclinadas (mas não fica claro se esses 3{,}30\\ \mathrm{kN} são forças internas já calculadas ou apenas anotações parciais).
  • A força F_D no topo em D é mostrada na figura mas o seu valor numérico não está explícito.
Observações importantes sobre a figura:
  • Alguns números e orientações de forças na imagem estão ambíguos/ilegíveis (por exemplo: o significado exato dos 3{,}30\\ \mathrm{kN} não está explicado; não está claro o sentido exato das forças nas barras inclinadas; não está explícito se as cargas 2\\ \mathrm{kN} agem diretamente sobre a haste ou sobre braços que transferem para a haste com certos ângulos).
  • Sem saber com certeza as direções/exatas magnitudes das componentes das forças nas barras inclinadas / pontos de aplicação exatos não é possível determinar unicamente as forças axiais na haste vertical em cada trecho.

Passo 2

Conceito físico e fórmula fundamental que vamos usar (a “aula” rápida):
  • A deformação axial (alongamento/encurtamento) de um trecho de barra submetido a uma força axial constante P é dada por:
\Delta=\frac{P\,L}{A\,E},
onde:
  • \Delta é o deslocamento axial do trecho (positiva para alongamento);
  • P é a força axial interna (em N) no trecho (tensão de tração positiva, de compressão negativa);
  • L é o comprimento do trecho (em mm, se usar A em \mathrm{mm}^2 e E em \mathrm{N/mm}^2);
  • A é a área da seção transversal (em \mathrm{mm}^2);
  • E é o módulo de elasticidade do material (para aço A-36 normalmente usa-se E\approx200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2).
  • Unidade consistente recomendada: converter comprimentos para \mathrm{mm} e forças para \mathrm{N}. Ex.: 1{,}50\\ \mathrm{m}=1500\\ \mathrm{mm}; 2{,}0\\ \mathrm{kN}=2000\\ \mathrm{N}.
  • Para o problema completo, precisa-se:
    1. Determinar as forças axiais internas P_{AB}, P_{BC} e P_{CD} na haste vertical (por equilíbrio estático dos nós/juntas).
    2. Calcular \Delta_{AB}=\dfrac{P_{AB}L_{AB}}{AE}, \Delta_{BC}=\dfrac{P_{BC}L_{BC}}{AE}, \Delta_{CD}=\dfrac{P_{CD}L_{CD}}{AE}.
    3. Deslocamento de um nó (por exemplo B) é soma algébrica das deformações dos trechos abaixo dele (ex.: deslocamento de B relativo ao ponto fixo de referência é soma das deformações de trechos inferiores se as direções somam).
  • Como encontrar as forças axiais internas P: montar corpos livres dos nós A, B, C, D e aplicar equilíbrio estático (somatório de forças verticais = 0 e, quando necessário, somatório de momentos). Em estruturas com barras inclinadas, decompor a força axial da barra nas componentes vertical e horizontal com trigonometria: se uma barra tem força axial F e forma ângulo \theta com a vertical, a componente vertical é F\cos\theta; se o ângulo é com a horizontal, a componente vertical é F\sin\theta — atenção à definição do ângulo.
  • Superposição: se várias forças contribuem para o mesmo trecho axial, usar sinais (tração/ compressão) e somar os efeitos nas deformações (deformações causadas por forças externas aplicadas são lineares em regime elástico).

Passo 3

Como aplicar passo a passo (metodologia que deve ser seguida na prova — aqui ensino como fazer, sem usar valores ambíguos da imagem):
  1. Converter unidades:
L_{AB}=0{,}50\\ \mathrm{m}=500\\ \mathrm{mm},\quad L_{BC}=1500\\ \mathrm{mm},\quad L_{CD}=750\\ \mathrm{mm}.
  1. Assumir E=200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2 (valor típico para aço A-36).
  2. Determinar as forças internas:
    • Desenhar corpo livre do nó inferior (ligação onde estão as cargas 2\\ \mathrm{kN}) e escrever equilíbrio vertical: por exemplo, se dois carregamentos 2{,}0\\ \mathrm{kN} atuam para baixo e são transmitidos por dois braços simétricos que se ligam à haste por barras inclinadas, decompor as forças dessas barras nas componentes verticais e horizontais e montar equações no nó.
    • Usar simetria: se a configuração é simétrica, as duas barras inclinadas terão a mesma força axial (chame de F_s).
    • Aplicar equilíbrio no nó C (onde chegam as duas barras inclinadas e a haste vertical) para relacionar F_s com a força axial na haste acima e abaixo de C.
    • Repetir para o nó B (onde conectam os braços mais baixos, se houver), para obter P_{AB}, P_{BC} e P_{CD}.
  3. Depois de encontrar P_{AB},P_{BC},P_{CD} (em N), calcular deformações:
\Delta_{AB}=\frac{P_{AB}\,L_{AB}}{A E},\quad \Delta_{BC}=\frac{P_{BC}\,L_{BC}}{A E},\quad \Delta_{CD}=\frac{P_{CD}\,L_{CD}}{A E}.
  1. Determinar deslocamentos desejados:
    • Deslocamento de A: soma das deformações de todos os trechos da haste entre A e uma referência fixa (se suposição usual for que o topo D está preso, então u_A=\Delta_{AB}+\Delta_{BC}+\Delta_{CD}; se o fundo está livre e topo preso, adaptar conforme condição).
    • Deslocamento de B: soma das deformações dos trechos entre B e a referência (ex.: u_B=\Delta_{BC}+\Delta_{CD} se D for referência fixa).
  2. Lembre-se de usar sinais: se um trecho está em compressão, sua contribuição ao deslocamento relativo entre pontos pode ser negativa (encurtamento); por isso monte um diagrama de forças axiais ao longo da haste para saber o sinal de P em cada trecho.

Passo 4

Por que não posso calcular números finais agora:
  • A figura fornecida tem anotações ambíguas (os 3{,}30\\ \mathrm{kN} destacados não têm legenda clara e não é óbvio se já representam forças nas barras inclinadas ou são apenas uma marcação).
  • Não está claramente indicado o sentido (tração/compressão) e a linha de ação exata das duas cargas de 2\\ \mathrm{kN} com respeito aos nós da haste (ou seja, onde exatamente essas 2\\ \mathrm{kN} são aplicadas e como são transmitidas para a haste).
  • Sem estas informações não é possível escrever corretamente as equações de equilíbrio estático e, portanto, não é possível obter unicamente P_{AB}, P_{BC} e P_{CD}, que são essenciais para aplicar \Delta=PL/AE.
Se desejar, segue um exemplo ilustrativo (apenas para mostrar cálculo numérico típico) — NOTA: este exemplo NÃO é a solução do seu enunciado porque foi feita uma hipótese arbitrária:
  • Hipótese de exemplo: suponha que as duas barras inclinadas têm força axial F_s=3{,}30\\ \mathrm{kN} para cima (conforme o destaque), com ângulo \theta=60^\circ medido em relação à vertical. Então a componente vertical de cada barra é F_s\cos\theta=3300\times\cos60^\circ=3300\times0{,}5=1650\\ \mathrm{N}. Duas barras dão 3300\\ \mathrm{N} para cima. Se houver dois carregamentos 2{,}0\\ \mathrm{kN} para baixo (total 4000\\ \mathrm{N}), a diferença 4000-3300=700\\ \mathrm{N} necessitaria ser sustentada pela haste (isto illustraria como montar a equação). Depois de obter P na haste, aplicaria \Delta=PL/AE em cada trecho convertendo unidades. Mas repito: isto é só demonstração do método, não é a solução do caso real porque as hipóteses podem estar erradas.

Passo 5

O que eu preciso para dar a resposta numérica exata (lista de dados faltantes/ilegíveis):
  • Confirmar os valores numéricos e sentidos das forças indicadas na figura (em particular os 3{,}30\\ \mathrm{kN} e a força F_D no topo).
  • Especificar com clareza o ângulo das barras inclinadas (se os 60^\circ são com a vertical ou com a horizontal).
  • Confirmar onde exatamente as cargas 2\\ \mathrm{kN} atuam e como são transmitidas aos nós A/ B.
  • Esclarecer qual ponto da estrutura é referência fixa (topo D está preso?) para somar corretamente deformações e obter deslocamentos de A e B.
    Sem esses itens claramente especificados não dá para concluir numericamente.

Resposta

Não é possível determinar numericamente os deslocamentos de B e A com segurança porque a figura fornecida está ambígua/ilegível em informações essenciais (forças nas barras inclinadas, sentido das forças e posição exata das cargas). Forneça (ou confirme) os valores claros das forças e a definição dos ângulos/apoios para que eu calcule passo a passo os deslocamentos.

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