Uma camada dielétrica, infinita, situada entre os planos z=-d e z=d possui uma densidade volumétrica de carga dada por \rho(z)=\frac{\rho_{0}}{d^{2}} z^{2}. Calcule o campo elétrico (a) dentro e (b) fora da camada.
Resposta:
(c) Verifique que \mathbf{E} satisfaz a lei de Gauss na forma diferencial.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados:
    • Uma camada dielétrica infinita nos eixos x,y, limitada pelos planos z=-d e z=d.
    • Densidade volumétrica de carga dependente só de z: \rho(z)=\dfrac{\rho_{0}}{d^{2}}\,z^{2}.
    • Não há outras cargas fora dessa faixa |z|>d (ou seja, \rho(z)=0 para |z|>d).
  • Perguntas:
    • (a) Calcular o campo elétrico \mathbf{E} dentro da camada (isto é, para |z|<d).
    • (b) Calcular o campo elétrico \mathbf{E} fora da camada (isto é, para |z|>d).
    • (c) Verificar que \mathbf{E} satisfaz a lei de Gauss na forma diferencial \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_{0}.
  • Observações extraídas do enunciado (úteis para a resolução):
    • O sistema é infinito nas direções x e y e \rho depende apenas de z. Isso implica simetrias importantes que serão usadas na solução.

Passo 2

Entendendo a simetria e escolha do método (sem ainda calcular):
  • Como \rho depende apenas de z e o sistema é infinito em x,y, o campo elétrico só pode depender de z e apontar na direção \hat{\mathbf{z}} (ou seja, \mathbf{E}(z)=E_z(z)\,\hat{\mathbf{z}}). Intuição: cargas distribuídas uniformemente nas direções x,y não geram componentes de campo nessas direções.
  • Vou usar a lei de Gauss na forma integral porque ela é a ferramenta clássica quando há simetria plana. A lei de Gauss (integral) diz:
\oint_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície fechada \partial V.
  • Escolherei uma superfície gaussiana do tipo “caixa” (pillbox) com faces planas paralelas aos planos z=\text{const}. Isso torna fácil relacionar fluxo com a carga entre duas alturas.

Passo 3

Aplicando Gauss para pontos dentro da camada ( |z|<d) — ideia e montagem:
  • Considere um ponto qualquer z com |z|<d. Por simetria é suficiente tratar z\ge 0 e depois estender por paridade/ímparidade.
  • Tome uma caixa gaussiana que se estende de -z até +z em z (ou, alternativa equivalente, uma caixa de base de área A com faces em z e -z). Denotar a área da face por A.
  • Raciocínio sobre o fluxo:
    • As faces laterais (paralelas ao eixo z) não contribuem para o fluxo porque \mathbf{E} é paralelo a \hat{\mathbf{z}} e o vetor área lateral é perpendicular a \hat{\mathbf{z}}.
    • O fluxo total é dado pelas faces superior e inferior. Pela simetria E_z(-z)=-E_z(z) (campo é ímpar em z porque a densidade é par), então o fluxo total é 2E_z(z)A (o sinal fica correto se tomarmos as orientações de superfície).
  • A carga interna Q_{\text{int}} dentro dessa caixa é a integral volumétrica:
Q_{\text{int}}=A\int_{-z}^{z}\rho(z')\,dz' = 2A\int_{0}^{z}\rho(z')\,dz',
pois \rho é par em z.

Passo 4

Cálculo explícito para |z|<d:
  • Substituir \rho(z')=\dfrac{\rho_{0}}{d^{2}}{z'}^{2} na integral:
Q_{\text{int}}=2A\int_{0}^{z}\frac{\rho_{0}}{d^{2}}{z'}^{2}\,dz' = 2A\frac{\rho_{0}}{d^{2}}\left[\frac{{z'}^{3}}{3}\right]_{0}^{z} =2A\frac{\rho_{0}}{d^{2}}\cdot\frac{z^{3}}{3}.
  • A lei de Gauss dá:
\text{flux}=2E_z(z)A=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}=\frac{2A}{\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{0}}{d^{2}}\cdot\frac{z^{3}}{3}.
  • Cancelando 2A de ambos os lados obtemos:
E_z(z)=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{0}}{d^{2}}\cdot\frac{z^{3}}{3}.
  • Escrevendo em forma vetorial (válido para todos os z dentro da camada, incluindo z<0 porque a expressão com z^{3} já conserva o sinal):
\mathbf{E}(z)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}d^{2}}\,z^{3}\,\hat{\mathbf{z}},\qquad \text{para }|z|<d.

Passo 5

Cálculo do campo fora da camada ( |z|>d\)): - Para \(z>d\) (caso \(z<-d\) é análogo por simetria), toda a carga da camada está entre \(-d\) e \(d\). Então a carga total por unidade de área (carga superficial equivalente) é: \[\sigma_{\text{tot}}=\int_{-d}^{d}\rho(z')\,dz' = 2\int_{0}^{d}\frac{\rho_{0}}{d^{2}}{z'}^{2}\,dz' =2\frac{\rho_{0}}{d^{2}}\cdot\frac{d^{3}}{3}= \frac{2\rho_{0}d}{3}.
  • Para |z|>d a configuração vista de longe é equivalente a uma lâmina com carga por unidade de área \sigma_{\text{tot}}. Usando Gauss com uma caixa que tem uma face em +z e a outra em -z (com z>d) obtemos, pelo mesmo raciocínio,
2E_z(z)A=\frac{A\sigma_{\text{tot}}}{\varepsilon_{0}},
ou seja,
E_z(z)=\frac{\sigma_{\text{tot}}}{2\varepsilon_{0}}=\frac{1}{2\varepsilon_{0}}\cdot\frac{2\rho_{0}d}{3}=\frac{\rho_{0}d}{3\varepsilon_{0}}.
  • Em termos vetoriais, tomando o sentido positivo para z>0 e negativo para z<0,
\mathbf{E}(z)=\frac{\rho_{0}d}{3\varepsilon_{0}}\,\operatorname{sgn}(z)\,\hat{\mathbf{z}},\qquad \text{para }|z|>d,
onde (\operatorname{sgn}(z)= \begin{cases}+1,& z>0,\\\\ -1,& z<0.\end{cases}]

Passo 6

Verificação da continuidade e consistência:
  • Avaliando a expressão interna em z=d temos
E_z(d)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}d^{2}}d^{3}=\frac{\rho_{0}d}{3\varepsilon_{0}},
que coincide com o valor externo em z=d. Portanto \mathbf{E} é contínuo em z=d (e em z=-d). Isso é coerente porque não há superfícies de carga singular (delta) localizadas em z=\pm d: a densidade \rho(z) é finita até esses pontos e não há carga superficial adicional.

Passo 7

Verificação da lei de Gauss na forma diferencial \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_{0}:
  • Como \mathbf{E}(z)=E_z(z)\hat{\mathbf{z}}, a divergência vale \nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{dE_z}{dz}.
  • Para |z|<d temos E_z(z)=\dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}d^{2}}z^{3}. Derivando:
\frac{dE_z}{dz}=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}d^{2}}\cdot 3z^{2}=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}d^{2}}\,z^{2}.
Comparando com \rho(z)/\varepsilon_{0}:
\frac{\rho(z)}{\varepsilon_{0}}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\rho_{0}}{d^{2}}\,z^{2},
vemos que \dfrac{dE_z}{dz}=\dfrac{\rho(z)}{\varepsilon_{0}} para |z|<d.
  • Para |z|>d temos E_z(z)=\dfrac{\rho_{0}d}{3\varepsilon_{0}}\operatorname{sgn}(z), que é constante em cada região z>d e z<-d. Assim \dfrac{dE_z}{dz}=0 nessas regiões. E como \rho(z)=0 para |z|>d, segue \dfrac{dE_z}{dz}=\dfrac{\rho(z)}{\varepsilon_{0}}=0 para |z|>d.
  • Em z=\pm d a igualdade no sentido clássico pontual pode ser delicada (derivada pontual pode não estar definida no ponto exato), mas como mostramos a função \mathbf{E} é contínua e a igualdade vale em ambas as vizinhanças, a lei diferencial é satisfeita no sentido distribuicional e praticamente em todo ponto real. Conclusão: \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_{0} está verificada.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(z)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}d^{2}}\,z^{3}\,\hat{\mathbf{z}},\qquad \text{para }|z|<d.
\displaystyle \mathbf{E}(z)=\frac{\rho_{0}d}{3\varepsilon_{0}}\,\operatorname{sgn}(z)\,\hat{\mathbf{z}},\qquad \text{para }|z|>d.

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