Uma camada dielétrica, infinita, situada entre os planos z=-d e z=d possui uma densidade volumétrica de carga dada por \rho(z)=\frac{\rho_{0}}{d^{2}} z^{2}. Calcule o campo elétrico (a) dentro e (b) fora da camada.
Resposta:
(c) Verifique que \mathbf{E} satisfaz a lei de Gauss na forma diferencial.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
Dados:
Uma camada dielétrica infinita nos eixos x,y, limitada pelos planos z=-d e z=d.
Densidade volumétrica de carga dependente só de z: \rho(z)=\dfrac{\rho_{0}}{d^{2}}\,z^{2}.
Não há outras cargas fora dessa faixa |z|>d (ou seja, \rho(z)=0 para |z|>d).
Perguntas:
(a) Calcular o campo elétrico \mathbf{E} dentro da camada (isto é, para |z|<d).
(b) Calcular o campo elétrico \mathbf{E} fora da camada (isto é, para |z|>d).
(c) Verificar que \mathbf{E} satisfaz a lei de Gauss na forma diferencial \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_{0}.
Observações extraídas do enunciado (úteis para a resolução):
O sistema é infinito nas direções x e y e \rho depende apenas de z. Isso implica simetrias importantes que serão usadas na solução.
Passo 2
Entendendo a simetria e escolha do método (sem ainda calcular):
Como \rho depende apenas de z e o sistema é infinito em x,y, o campo elétrico só pode depender de z e apontar na direção \hat{\mathbf{z}} (ou seja, \mathbf{E}(z)=E_z(z)\,\hat{\mathbf{z}}). Intuição: cargas distribuídas uniformemente nas direções x,y não geram componentes de campo nessas direções.
Vou usar a lei de Gauss na forma integral porque ela é a ferramenta clássica quando há simetria plana. A lei de Gauss (integral) diz:
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície fechada \partial V.
Escolherei uma superfície gaussiana do tipo “caixa” (pillbox) com faces planas paralelas aos planos z=\text{const}. Isso torna fácil relacionar fluxo com a carga entre duas alturas.
Passo 3
Aplicando Gauss para pontos dentro da camada (|z|<d) — ideia e montagem:
Considere um ponto qualquer z com |z|<d. Por simetria é suficiente tratar z\ge 0 e depois estender por paridade/ímparidade.
Tome uma caixa gaussiana que se estende de -z até +z em z (ou, alternativa equivalente, uma caixa de base de área A com faces em z e -z). Denotar a área da face por A.
Raciocínio sobre o fluxo:
As faces laterais (paralelas ao eixo z) não contribuem para o fluxo porque \mathbf{E} é paralelo a \hat{\mathbf{z}} e o vetor área lateral é perpendicular a \hat{\mathbf{z}}.
O fluxo total é dado pelas faces superior e inferior. Pela simetria E_z(-z)=-E_z(z) (campo é ímpar em z porque a densidade é par), então o fluxo total é 2E_z(z)A (o sinal fica correto se tomarmos as orientações de superfície).
A carga interna Q_{\text{int}} dentro dessa caixa é a integral volumétrica:
Cálculo do campo fora da camada (|z|>d\)):
- Para \(z>d\) (caso \(z<-d\) é análogo por simetria), toda a carga da camada está entre \(-d\) e \(d\). Então a carga total por unidade de área (carga superficial equivalente) é:
\[\sigma_{\text{tot}}=\int_{-d}^{d}\rho(z')\,dz' = 2\int_{0}^{d}\frac{\rho_{0}}{d^{2}}{z'}^{2}\,dz' =2\frac{\rho_{0}}{d^{2}}\cdot\frac{d^{3}}{3}= \frac{2\rho_{0}d}{3}.
Para |z|>d a configuração vista de longe é equivalente a uma lâmina com carga por unidade de área \sigma_{\text{tot}}. Usando Gauss com uma caixa que tem uma face em +z e a outra em -z (com z>d) obtemos, pelo mesmo raciocínio,
que coincide com o valor externo em z=d. Portanto \mathbf{E} é contínuo em z=d (e em z=-d). Isso é coerente porque não há superfícies de carga singular (delta) localizadas em z=\pm d: a densidade \rho(z) é finita até esses pontos e não há carga superficial adicional.
Passo 7
Verificação da lei de Gauss na forma diferencial \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_{0}:
Como \mathbf{E}(z)=E_z(z)\hat{\mathbf{z}}, a divergência vale \nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{dE_z}{dz}.
Para |z|<d temos E_z(z)=\dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}d^{2}}z^{3}. Derivando:
vemos que \dfrac{dE_z}{dz}=\dfrac{\rho(z)}{\varepsilon_{0}} para |z|<d.
Para |z|>d temos E_z(z)=\dfrac{\rho_{0}d}{3\varepsilon_{0}}\operatorname{sgn}(z), que é constante em cada região z>d e z<-d. Assim \dfrac{dE_z}{dz}=0 nessas regiões. E como \rho(z)=0 para |z|>d, segue \dfrac{dE_z}{dz}=\dfrac{\rho(z)}{\varepsilon_{0}}=0 para |z|>d.
Em z=\pm d a igualdade no sentido clássico pontual pode ser delicada (derivada pontual pode não estar definida no ponto exato), mas como mostramos a função \mathbf{E} é contínua e a igualdade vale em ambas as vizinhanças, a lei diferencial é satisfeita no sentido distribuicional e praticamente em todo ponto real. Conclusão: \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_{0} está verificada.