Força por unidade de área exercida por um campo elétrico em um condutor. Pressão eletrostática.
Sabemos que, na eletrostática, a carga elétrica comunicada a um condutor localiza-se sobre sua superfície externa. Mostre que, em um condutor, com densidade de carga superficial \sigma, a força por unidade de área é dada por
\frac{d \boldsymbol{F}}{d S}=\frac{\sigma^{2}}{2 \varepsilon_{0}} \widehat{\boldsymbol{n}}=\frac{\varepsilon_{0}}{2} \boldsymbol{E}^{2} \widehat{\boldsymbol{n}}
onde \widehat{\boldsymbol{n}} é o vetor unitário normal à superfície e \boldsymbol{E}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} \widehat{\boldsymbol{n}} é o campo dado pela Eq. (2.70).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei todas da própria fórmula pedida):
  • Há um condutor em eletrostática com densidade de carga superficial \sigma sobre sua superfície externa.
  • O campo elétrico imediatamente fora da superfície vale \displaystyle \boldsymbol{E}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\widehat{\boldsymbol{n}}, onde \widehat{\boldsymbol{n}} é o versor normal externo.
  • O campo elétrico imediatamente dentro do condutor é nulo.
    O que se pede: mostrar que a força por unidade de área (pressão eletrostática) sobre a superfície do condutor é
\frac{d \boldsymbol{F}}{d S}=\frac{\sigma^{2}}{2 \varepsilon_{0}} \widehat{\boldsymbol{n}}=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\boldsymbol{E}^{2}\widehat{\boldsymbol{n}}.

Passo 2

Definições e ideia principal para a resolução:
  • Considere um elemento infinitesimal de área da superfície do condutor com área dS. A carga nesse pedaço é
dq=\sigma\,dS.
  • A força sobre essa carga é dada pela lei de Coulomb (princípio da superposição): a força sobre dq é dq multiplicado pelo campo elétrico produzido por todas as demais cargas (isto é, o campo total menos o campo produzido pela própria carga dq). Escrevemos isso como
d\boldsymbol{F}=dq\,\boldsymbol{E}_{\text{externo}},
onde \boldsymbol{E}_{\text{externo}} é o campo no local da carga devido a todas as outras cargas (não incluindo o campo “auto” de dq).
  • Portanto a pressão (força por unidade de área) será
\frac{d\boldsymbol{F}}{dS}=\sigma\,\boldsymbol{E}_{\text{externo}}.
A tarefa é achar \boldsymbol{E}_{\text{externo}} em termos de \sigma.

Passo 3

Cálculo do campo produzido pelo próprio elemento de superfície (campo “self”):
  • Para uma pequena porção de superfície podemos aproximá‑la localmente por um plano infinito com densidade superficial \sigma. O campo elétrico produzido por um plano infinito uniformemente carregado tem magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} em cada lado e aponta para fora do plano.
  • Esse resultado pode ser obtido rapidamente por uma caixa de Gauss: tomando uma caixa cilíndrica que atravessa o plano, a contribuição do fluxo nos tampões dá
E\cdot(2A)=\frac{\sigma A}{\varepsilon_{0}}\quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}},
onde A é a área do tampão. Assim o campo “self” vale \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} em módulo, apontando para fora em cada lado do plano.

Passo 4

Decomposição do campo total próximo à superfície e uso da condição dentro do condutor:
  • Denote por \boldsymbol{E}_{\text{self}} o campo produzido pela própria pequena porção de carga (aproximada por plano). Tome \widehat{\boldsymbol{n}} como normal externo. Então
\boldsymbol{E}_{\text{self, fora}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\widehat{\boldsymbol{n}}, \qquad \boldsymbol{E}_{\text{self, dentro}}=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\widehat{\boldsymbol{n}}.
  • Denote por \boldsymbol{E}_{\text{rest}} o campo devido a todas as outras cargas (todas exceto a porção considerada). Pelo princípio da superposição:
\boldsymbol{E}_{\text{fora}}=\boldsymbol{E}_{\text{rest}}+\boldsymbol{E}_{\text{self, fora}}, \qquad \boldsymbol{E}_{\text{dentro}}=\boldsymbol{E}_{\text{rest}}+\boldsymbol{E}_{\text{self, dentro}}.
  • Sabemos que \boldsymbol{E}_{\text{dentro}}=\boldsymbol{0} (campo nulo no interior do condutor). Substituindo \boldsymbol{E}_{\text{self, dentro}} obtemos
\boldsymbol{0}=\boldsymbol{E}_{\text{rest}}-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\widehat{\boldsymbol{n}}.
Assim
\boldsymbol{E}_{\text{rest}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\widehat{\boldsymbol{n}}.

Passo 5

Força por unidade de área usando \boldsymbol{E}_{\text{rest}}:
  • Lembrando que a força sobre o elemento de carga é dq vezes o campo das outras cargas, e dividindo por dS:
\frac{d\boldsymbol{F}}{dS}=\sigma\,\boldsymbol{E}_{\text{externo}}=\sigma\,\boldsymbol{E}_{\text{rest}}.
  • Substituindo \boldsymbol{E}_{\text{rest}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\widehat{\boldsymbol{n}} obtemos
\frac{d\boldsymbol{F}}{dS}=\sigma\left(\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\widehat{\boldsymbol{n}}\right)=\frac{\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}\widehat{\boldsymbol{n}}.
Isso já é a forma desejada em função de \sigma.

Passo 6

Escrever a mesma expressão em função do campo \boldsymbol{E} imediatamente fora da superfície:
  • Pelo enunciado (condição de contorno) temos
\boldsymbol{E}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\widehat{\boldsymbol{n}}.
  • Então \sigma=\varepsilon_{0}\left|\boldsymbol{E}\right| (como \boldsymbol{E} é paralelo a \widehat{\boldsymbol{n}} aqui). Substituindo em \dfrac{\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}\widehat{\boldsymbol{n}} obtemos
\frac{d\boldsymbol{F}}{dS}=\frac{(\varepsilon_{0}\left|\boldsymbol{E}\right|)^{2}}{2\varepsilon_{0}}\widehat{\boldsymbol{n}} =\frac{\varepsilon_{0}}{2}\left|\boldsymbol{E}\right|^{2}\widehat{\boldsymbol{n}}.
Observação: \left|\boldsymbol{E}\right|^{2}=\boldsymbol{E}^{2} representa o quadrado da magnitude do campo.

Passo 7

Interpretação física curta (motivação extra para a prova):
  • A expressão \dfrac{\varepsilon_{0}}{2}\left|\boldsymbol{E}\right|^{2} é a densidade de energia do campo elétrico. A mesma quantidade aparece como pressão eletrostática sobre superfícies carregadas: o campo “puxa” a superfície com pressão igual à energia por unidade de volume do campo. Isso dá uma visão alternativa (pela energia) do mesmo resultado obtido acima.

Resposta

\dfrac{d \boldsymbol{F}}{d S}=\dfrac{\sigma^{2}}{2 \varepsilon_{0}} \widehat{\boldsymbol{n}}
\dfrac{d \boldsymbol{F}}{d S}=\dfrac{\varepsilon_{0}}{2}\boldsymbol{E}^{2}\widehat{\boldsymbol{n}}

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