Força por unidade de área exercida por um campo elétrico em um condutor. Pressão eletrostática.
Sabemos que, na eletrostática, a carga elétrica comunicada a um condutor localiza-se sobre sua superfície externa. Mostre que, em um condutor, com densidade de carga superficial
, a força por unidade de área é dada por
onde
é o vetor unitário normal à superfície e
é o campo dado pela Eq. (2.70).
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei todas da própria fórmula pedida):
- Há um condutor em eletrostática com densidade de carga superficial
sobre sua superfície externa. - O campo elétrico imediatamente fora da superfície vale
, onde é o versor normal externo. - O campo elétrico imediatamente dentro do condutor é nulo.
O que se pede: mostrar que a força por unidade de área (pressão eletrostática) sobre a superfície do condutor é
Passo 2
Definições e ideia principal para a resolução:
- Considere um elemento infinitesimal de área da superfície do condutor com área
. A carga nesse pedaço é
- A força sobre essa carga é dada pela lei de Coulomb (princípio da superposição): a força sobre
é multiplicado pelo campo elétrico produzido por todas as demais cargas (isto é, o campo total menos o campo produzido pela própria carga ). Escrevemos isso como
onde
é o campo no local da carga devido a todas as outras cargas (não incluindo o campo “auto” de
).
- Portanto a pressão (força por unidade de área) será
A tarefa é achar
em termos de
.
Passo 3
Cálculo do campo produzido pelo próprio elemento de superfície (campo “self”):
- Para uma pequena porção de superfície podemos aproximá‑la localmente por um plano infinito com densidade superficial
. O campo elétrico produzido por um plano infinito uniformemente carregado tem magnitude em cada lado e aponta para fora do plano. - Esse resultado pode ser obtido rapidamente por uma caixa de Gauss: tomando uma caixa cilíndrica que atravessa o plano, a contribuição do fluxo nos tampões dá
onde
é a área do tampão. Assim o campo “self” vale
em módulo, apontando para fora em cada lado do plano.
Passo 4
Decomposição do campo total próximo à superfície e uso da condição dentro do condutor:
- Denote por
o campo produzido pela própria pequena porção de carga (aproximada por plano). Tome como normal externo. Então
- Denote por
o campo devido a todas as outras cargas (todas exceto a porção considerada). Pelo princípio da superposição:
- Sabemos que
(campo nulo no interior do condutor). Substituindo obtemos
Assim
Passo 5
Força por unidade de área usando
:
- Lembrando que a força sobre o elemento de carga é
vezes o campo das outras cargas, e dividindo por :
- Substituindo
obtemos
Isso já é a forma desejada em função de
.
Passo 6
Escrever a mesma expressão em função do campo
imediatamente fora da superfície:
- Pelo enunciado (condição de contorno) temos
- Então
(como é paralelo a aqui). Substituindo em obtemos
Observação:
representa o quadrado da magnitude do campo.
Passo 7
Interpretação física curta (motivação extra para a prova):
- A expressão
é a densidade de energia do campo elétrico. A mesma quantidade aparece como pressão eletrostática sobre superfícies carregadas: o campo “puxa” a superfície com pressão igual à energia por unidade de volume do campo. Isso dá uma visão alternativa (pela energia) do mesmo resultado obtido acima.