Uma camada de material refratário ( \mathrm{k}=1,8 \mathrm{~W} / . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 50 mm de espessura está localizada entre duas chapas de aço \left(\mathrm{k}=50,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}\right) de 6,3 \mathrm{~mm} de espessura. As faces da camada refratária adjacentes às placas são rugosas de modo que apenas 30 \% da área total está em contato com o aço. Os espaços vazios são ocupados por ar ( \mathrm{k}=0,015 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ) e a espessura média da rugosidade de 0,8 \mathrm{~mm}. Considerando que as temperaturas das superfícies externas da placa de aço são 459^{\circ} \mathrm{C} e 96^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Calcule a taxa de transferência de calor, em W, que se estabelece na parede composta. OBS : Na rugosidade, o ar está parado (considerar apenas a condução)

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Condutividades térmicas: \,k_{\text{refr}}=1{,}8\\ \mathrm{W/m\,^\circ C}, \,k_{\text{aço}}=50{,}0\\ \mathrm{W/m\,^\circ C}ç, \,k_{\text{ar}}=0{,}015\\ \mathrm{W/m\,^\circ C}.
  • Espessuras: camada refratária \,t_{\text{refr}}=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}; chapas de aço \,t_{\text{aço}}=6{,}3\\ \mathrm{mm}=0{,}0063\\ \mathrm{m}ç.
  • Rugosidade / contato: apenas 30\% da área total está em contato sólido; os 70\% restantes são preenchidos por ar com espessura média da rugosidade \,t_{\text{ar}}=0{,}8\\ \mathrm{mm}=0{,}0008\\ \mathrm{m}.
  • Temperaturas das superfícies externas das chapas de aço: \,T_{\text{quente}}=459{,}^\circ\mathrm{C} e \,T_{\text{fria}}=96{,}^\circ\mathrm{C}.
  • O enunciado pede a taxa de transferência de calor (em W) através da parede composta. O enunciado não dá a área total; para obter um valor numérico único, vou calcular a taxa para uma área total unitária \,A_{\text{tot}}=1{,}0\\ \mathrm{m}^2 (procedimento padrão em problemas desse tipo — a taxa será então o calor por metro quadrado, numericamente igual à potência para 1\\ \mathrm{m}^2).
    Nada mais será assumido.

Passo 2

Escolha do método e modelos usados (explicação didática).
  • Modelo físico: a parede tem três “camadas” principais em série na direção do fluxo: chapa de aço (esquerda) — camada refratária — chapa de aço (direita). Porém, nas interfaces aço–refratário há rugosidade: parte da área (30%) está em contato sólido direto, enquanto o restante (70%) tem um fino espaço de ar. Isso cria duas vias paralelas de transferência de calor: a via através das áreas em contato sólido e a via através das áreas com o ar (cada via ocupa uma fração da área total). Portanto, o circuito térmico é composto por duas ramos em paralelo (cada ramo cobrindo sua fração de área) e em cada ramo há resistências em série correspondentes às camadas atravessadas.
  • Fórmulas básicas:
    • Resistência térmica por condução de uma placa homogênea de espessura \,L, condutividade \,k e área \,A é
    R=\frac{L}{k\,A},onde R tem unidades \mathrm{K/W}. Explicação: é análogo à resistência elétrica R=\ell/(\sigma A); quanto maior a espessura maior a resistência, quanto maior a condutividade ou a área menor a resistência.
    • Resistências em série somam-se:
    R_{\text{série}}=R_1+R_2+\cdotsé
    • Resistências em paralelo (dois ramos) combinam-se via condutância; mais prático aqui é calcular a resistência total de cada ramo separadamente (cada ramo tem sua área) e somar as potências atravessando cada ramo, ou trabalhar com condutâncias por ramo. Vou trabalhar calculando as resistências absolutas de cada ramo (considerando a área do ramo), em que cada ramo tem área \,A_{\text{ramo}}=f\cdot A_{\text{tot}} (onde f é a fração 0,3 ou 0,7).
  • Coordenadas e notação que vou usar: fração de contato sólida f_c=0{,}30, fração com ar f_a=0{,}70, \Delta T=T_{\text{quente}}-T_{\text{fria}}=459-96=363\\ ^\circ\mathrm{C}. Vou tomar A_{\text{tot}}=1{,}0\\ \mathrm{m}^2, então A_c=f_c\cdot A_{\text{tot}} e A_a=f_a\cdot A_{\text{tot}}.

Passo 3

Calcular as áreas das duas vias (para A_{\text{tot}}=1\\ \mathrm{m}^2).
A_c = 0{,}30\cdot 1{,}0 = 0{,}30\\ \mathrm{m}^2, \qquad A_a = 0{,}70\cdot 1{,}0 = 0{,}70\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Montar as resistências do ramo “contato sólido” (fração 0{,}30). Explicação: nesse ramo não há espaço de ar nas interfaces, portanto o fluxo atravessa, em série, a chapa de aço esquerda, a camada refratária e a chapa de aço direita — tudo sobre a área A_c. Usar R=\dfrac{L}{kA} para cada pedaço.
  • Resistência da chapa de aço (esquerda) no ramo contato:
R_{\text{aço,left},c}=\frac{t_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}\,A_c} =\frac{0{,}0063}{50{,}0\cdot 0{,}30}= \frac{0{,}0063}{15{,}0}=0{,}00042\\ \mathrm{K/W}.ççç
  • Resistência da camada refratária no ramo contato:
R_{\text{refr},c}=\frac{t_{\text{refr}}}{k_{\text{refr}}\,A_c} =\frac{0{,}05}{1{,}8\cdot 0{,}30}=\frac{0{,}05}{0{,}54}=0{,}0925925926\\ \mathrm{K/W}.
  • Resistência da chapa de aço (direita) no ramo contato (igual à esquerda):
R_{\text{aço,right},c}=0{,}00042\\ \mathrm{K/W}.ç
  • Resistência total do ramo contato (série):
R_{c}=R_{\text{aço,left},c}+R_{\text{refr},c}+R_{\text{aço,right},c} =0{,}00042+0{,}0925925926+0{,}00042=0{,}0934325926\\ \mathrm{K/W}.çç

Passo 5

Montar as resistências do ramo “com ar” (fração 0{,}70). Explicação: nesse ramo o calor atravessa, em série, a chapa de aço esquerda, o espaço de ar entre aço e refratário (espessura \,t_{\text{ar}}), a camada refratária, o espaço de ar no outro lado e a chapa de aço direita; tudo isso sobre a área A_a. Há dois espaços de ar (um em cada interface). Calcular cada resistência.
  • Chapas de aço (esquerda e direita) no ramo ar:
R_{\text{aço,left},a}=\frac{0{,}0063}{50{,}0\cdot 0{,}70}=\frac{0{,}0063}{35{,}0}=0{,}00018\\ \mathrm{K/W},ç
R_{\text{aço,right},a}=0{,}00018\\ \mathrm{K/W}.ç
  • Espaço de ar em uma interface:
R_{\text{ar,1}}=\frac{t_{\text{ar}}}{k_{\text{ar}}\,A_a}=\frac{0{,}0008}{0{,}015\cdot 0{,}70}=\frac{0{,}0008}{0{,}0105}=0{,}0761904762\\ \mathrm{K/W}.
Há duas interfaces com ar, então somam:
R_{\text{ar,total}}=2\cdot 0{,}0761904762=0{,}1523809524\\ \mathrm{K/W}.
  • Resistência da camada refratária sobre a área A_a:
R_{\text{refr},a}=\frac{0{,}05}{1{,}8\cdot 0{,}70}=\frac{0{,}05}{1{,}26}=0{,}0396825397\\ \mathrm{K/W}.
  • Resistência total do ramo com ar:
R_{a}=R_{\text{aço,left},a}+R_{\text{ar,total}}+R_{\text{refr},a}+R_{\text{aço,right},a} =0{,}00018+0{,}1523809524+0{,}0396825397+0{,}00018 =0{,}1924234921\\ \mathrm{K/W}.çç

Passo 6

Calcular a taxa de calor em cada ramo (explicação: para cada ramo a taxa é \,Q=\dfrac{\Delta T}{R_{\text{ramo}}} porque já usamos resistências absolutas para a área daquele ramo). Depois somar as potências dos ramos para obter a taxa total através da parede de área total 1\\ \mathrm{m}^2.
  • Diferenca de temperatura:
\Delta T = 459-96 = 363\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Potência no ramo contato:
Q_c=\frac{\Delta T}{R_c}=\frac{363}{0{,}0934325926}=3886{,}726\\ \mathrm{W}.
  • Potência no ramo com ar:
Q_a=\frac{\Delta T}{R_a}=\frac{363}{0{,}1924234921}=1886{,}565\\ \mathrm{W}.
  • Potência total (soma dos ramos, pois são paralelos):
Q_{\text{total}}=Q_c+Q_a=3886{,}726+1886{,}565=5773{,}291\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida (didática curta).
  • O resultado significa que, para uma parede de área \,1{,}0\\ \mathrm{m}^2 com as condições dadas, a taxa de transferência de calor é aproximadamente \,5773{,}3\\ \mathrm{W}.
  • Observação didática: a presença de apenas 30\% de contato sólido cria um ramo de baixa resistência (contato) e outro de resistência bem maior (ar), por isso a maior parte do calor passa pelo caminho de contato sólido. Se não houvesse contato (100% ar), a resistência seria muito maior e Q muito menor; se houvesse 100% contato sólido, a resistência seria menor e Q maior.

Resposta

5773,3\\ \mathrm{W}

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