Uma cåmera escura de orificio tem 20 cm de comprimento e o anteparo onde se projeta a imagem tem 15 cm de altura. Qual deve ser a distància minima dessa cåmara a uma árvore de 9 m de altura para que ela apareça por inteiro no anteparo?
Passo 1
O enunciado dá essas informações e pergunta o que segue (peguei todos os números do enunciado):
- comprimento da câmara (distância do orifício ao anteparo):
; - altura do anteparo (altura máxima disponível para a imagem):
; - altura da árvore (objeto):
.
O que se pede:
- determinar a distância mínima entre a câmara (o orifício) e a árvore, isto é, o menor valor possível de
para que a árvore inteira caiba no anteparo.
Passo 2
Vamos definir claramente as variáveis que usaremos (tudo em metros ou em centímetros, mas todas as grandezas devem estar na mesma unidade para operar):
-
= altura do objeto (árvore); -
= altura da imagem no anteparo; -
= distância do orifício ao objeto (o que queremos achar); -
= distância do orifício ao anteparo (comprimento da câmara).
Converter
para a mesma unidade dos demais dados (os dados do anteparo e do comprimento estão em centímetros):
Agora temos:
Passo 3
Explicando a ideia geométrica (sem jargão complicado): uma câmara escura de orifício forma a imagem por semelhança de triângulos. O topo e a base da árvore e seus raios que passam pelo orifício formam dois triângulos semelhantes — o triângulo do objeto (árvore) e o triângulo da imagem no anteparo. Isso implica que as razões entre alturas correspondentes são iguais às razões entre as distâncias correspondentes. Portanto vale a relação
Essa fórmula diz, em palavras, “a imagem é para o objeto assim como a distância imageadora é para a distância objeto”.
Passo 4
Para obter
isolamos na equação da semelhança:
Isto é apenas álgebra: multiplica-se em cruz e resolve para
.
Passo 5
Substituímos os números (todos em
):
Agora fazemos a conta passo a passo sem calculadora: primeiro simplificar a fração
.
Então
Dividindo
por
dá
, e multiplicando por
dá
Passo 6
Converter para metros (unidade mais natural para distância até uma árvore):
Interpretação física rápida e motivadora: esse é o menor
tal que a imagem da árvore tenha exatamente
de altura no anteparo. Se a câmara estiver mais perto (distância menor que
), a imagem seria maior que
e a árvore não caberia inteira; se estiver mais longe (distância maior que
), a imagem fica menor e aí cabe sem problemas.
Passo 7
Cheque rápido (para ganhar confiança): calcular
usando
:
que coincide com a altura do anteparo — portanto está consistente.