Uma cåmera escura de orificio tem 20 cm de comprimento e o anteparo onde se projeta a imagem tem 15 cm de altura. Qual deve ser a distància minima dessa cåmara a uma árvore de 9 m de altura para que ela apareça por inteiro no anteparo?

Passo 1

O enunciado dá essas informações e pergunta o que segue (peguei todos os números do enunciado):
  • comprimento da câmara (distância do orifício ao anteparo): d_i = 20\\ \mathrm{cm};
  • altura do anteparo (altura máxima disponível para a imagem): h_i = 15\\ \mathrm{cm};
  • altura da árvore (objeto): H_o = 9\\ \mathrm{m}.
O que se pede:
  • determinar a distância mínima entre a câmara (o orifício) e a árvore, isto é, o menor valor possível de d_o para que a árvore inteira caiba no anteparo.

Passo 2

Vamos definir claramente as variáveis que usaremos (tudo em metros ou em centímetros, mas todas as grandezas devem estar na mesma unidade para operar):
  • H_o = altura do objeto (árvore);
  • h_i = altura da imagem no anteparo;
  • d_o = distância do orifício ao objeto (o que queremos achar);
  • d_i = distância do orifício ao anteparo (comprimento da câmara).
Converter H_o para a mesma unidade dos demais dados (os dados do anteparo e do comprimento estão em centímetros):
H_o = 9\\ \mathrm{m} = 9\times100\\ \mathrm{cm} = 900\\ \mathrm{cm}.
Agora temos:
H_o = 900\\ \mathrm{cm},\qquad h_i = 15\\ \mathrm{cm},\qquad d_i = 20\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Explicando a ideia geométrica (sem jargão complicado): uma câmara escura de orifício forma a imagem por semelhança de triângulos. O topo e a base da árvore e seus raios que passam pelo orifício formam dois triângulos semelhantes — o triângulo do objeto (árvore) e o triângulo da imagem no anteparo. Isso implica que as razões entre alturas correspondentes são iguais às razões entre as distâncias correspondentes. Portanto vale a relação
\frac{h_i}{H_o}=\frac{d_i}{d_o}.
Essa fórmula diz, em palavras, “a imagem é para o objeto assim como a distância imageadora é para a distância objeto”.

Passo 4

Para obter d_o isolamos na equação da semelhança:
\frac{h_i}{H_o}=\frac{d_i}{d_o}\quad\Longrightarrow\quad d_o=\frac{H_o\,d_i}{h_i}.
Isto é apenas álgebra: multiplica-se em cruz e resolve para d_o.

Passo 5

Substituímos os números (todos em \mathrm{cm}):
d_o=\frac{H_o\,d_i}{h_i}=\frac{900\cdot 20}{15}\\ \mathrm{cm}.
Agora fazemos a conta passo a passo sem calculadora: primeiro simplificar a fração 20/15.
\frac{20}{15}=\frac{4}{3}.
Então
d_o=900\cdot\frac{4}{3}\\ \mathrm{cm}.
Dividindo 900 por 3 300, e multiplicando por 4
d_o=300\cdot 4 = 1200\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Converter para metros (unidade mais natural para distância até uma árvore):
1200\\ \mathrm{cm}=1200\div100\\ \mathrm{m}=12\\ \mathrm{m}.
Interpretação física rápida e motivadora: esse é o menor d_o tal que a imagem da árvore tenha exatamente 15\\ \mathrm{cm} de altura no anteparo. Se a câmara estiver mais perto (distância menor que 12\\ \mathrm{m}), a imagem seria maior que 15\\ \mathrm{cm} e a árvore não caberia inteira; se estiver mais longe (distância maior que 12\\ \mathrm{m}), a imagem fica menor e aí cabe sem problemas.

Passo 7

Cheque rápido (para ganhar confiança): calcular h_i usando d_o=1200\\ \mathrm{cm}:
h_i = H_o\frac{d_i}{d_o}=900\cdot\frac{20}{1200}=900\cdot\frac{1}{60}=15\\ \mathrm{cm},
que coincide com a altura do anteparo — portanto está consistente.

Resposta

12\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados