Um caminhante de 80,0 kg está preso em uma borda de montanha após uma tempestade. Um helicóptero resgata o caminhante pairando acima dele e abaixando um cabo para ele. A massa do cabo é de 8,00 \mathrm{~kg} e seu comprimento é de 15,0 \mathrm{~m}. Uma funda de massa de 70,0 \mathrm{~kg} é presa à extremidade do cabo. O caminhante se prende à funda, e o helicóptero então acelera para cima.Aterrorizado por se pendurar no cabo no ar, o caminhante tenta sinalizar o piloto enviando pulsos transversais para cima do cabo. Um pulso leva 0,250 \mathrm{~s} para percorrer o comprimento do cabo. Qual é a aceleração do helicóptero? Suponha que a tensão no cabo seja uniforme.

Passo 1

O enunciado pede a aceleração para cima do helicóptero enquanto puxa o cabo. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
m_{\text{caminhante}} = 80{,}0\\ \mathrm{kg},\qquad m_{\text{cabo}} = 8{,}00\\ \mathrm{kg},\qquad L = 15{,}0\\ \mathrm{m},
m_{\text{funda}} = 70{,}0\\ \mathrm{kg},\qquad \Delta t_{\text{pulso}} = 0{,}250\\ \mathrm{s}.
Também foi dada a hipótese: a tensão no cabo é uniforme. Objetivo: encontrar a aceleração a do helicóptero (para cima).

Passo 2

Primeiro passo concreto: calcular a velocidade do pulso ao longo do cabo. Um pulso percorre o comprimento L em tempo \Delta t, logo a velocidade do pulso é
v=\frac{L}{\Delta t}.
Substituindo os valores:
v=\frac{15{,}0}{0{,}250}=60{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Isso significa que a perturbação transverse viaja ao longo do cabo à velocidade 60{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora a relação entre velocidade de onda, tensão e densidade linear: para ondas transversais em um cabo (ou corda) homogêneo a velocidade satisfaz
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde:
  • v é a velocidade da onda (m/s),
  • T é a tensão no cabo (N),
  • \mu é a densidade linear de massa do cabo (kg/m), isto é \mu = \dfrac{m_{\text{cabo}}}{L}.
Breve explicação intuitiva: a velocidade aumenta se a tensão T for maior (puxa a corda mais firme) e diminui se a massa por metro \mu for maior (mais inércia por trecho do cabo). Essa fórmula é padrão para ondas em cordas e serve direto aqui.

Passo 4

Calcular \mu e então a tensão T usando v.
\mu=\frac{m_{\text{cabo}}}{L}=\frac{8{,}00}{15{,}0}=0{,}53333\\ \mathrm{kg/m}.
Usando v^2=T/\mu obtemos
T=\mu v^2 = 0{,}53333\cdot (60{,}0)^2.
Como (60{,}0)^2=3600,
T = 0{,}53333\cdot 3600 = 1920\\ \mathrm{N}.
Portanto a tensão no cabo (assumida uniforme) é 1920\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Agora ligar a tensão T com a aceleração do conjunto. O cabo está puxando para cima toda a massa do sistema: caminhante, funda e o próprio cabo. Como foi dada a hipótese de tensão uniforme podemos tratar a massa total acelerada como
M_{\text{tot}}=m_{\text{caminhante}}+m_{\text{funda}}+m_{\text{cabo}}=80{,}0+70{,}0+8{,}00=158{,}0\\ \mathrm{kg}.
Aplicando a segunda lei de Newton ao conjunto (forças verticais): a força para cima é T, para baixo é o peso total M_{\text{tot}}g. Então
T - M_{\text{tot}} g = M_{\text{tot}} a,
onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 6

Isolar a:
a=\frac{T}{M_{\text{tot}}}-g.
Usando T=1920\\ \mathrm{N}, M_{\text{tot}}=158{,}0\\ \mathrm{kg} e g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2},
\frac{T}{M_{\text{tot}}}=\frac{1920}{158{,}0}\approx 12{,}1519\\ \mathrm{m/s^2}.
Logo
a \approx 12{,}1519-9{,}80 = 2{,}3519\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos dos dados), temos a\approx 2{,}35\\ \mathrm{m/s^2} para cima.

Passo 7

Resumo e interpretação rápida (meio amigo te animando): o pulso rápido nos deu a tensão no cabo; com essa tensão, Newton nos dá a aceleração que o helicóptero imprime no conjunto. O valor obtido é moderado: cerca de 2{,}35\\ \mathrm{m/s^2} para cima — suficiente para sentir puxão, mas não extrema.

Resposta

\,2{,}35\\ \mathrm{m/s^2}

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