Um caminhante de 80,0 kg está preso em uma borda de montanha após uma tempestade. Um helicóptero resgata o caminhante pairando acima dele e abaixando um cabo para ele. A massa do cabo é de
e seu comprimento é de
. Uma funda de massa de
é presa à extremidade do cabo. O caminhante se prende à funda, e o helicóptero então acelera para cima.Aterrorizado por se pendurar no cabo no ar, o caminhante tenta sinalizar o piloto enviando pulsos transversais para cima do cabo. Um pulso leva
para percorrer o comprimento do cabo. Qual é a aceleração do helicóptero? Suponha que a tensão no cabo seja uniforme.
Passo 1
O enunciado pede a aceleração para cima do helicóptero enquanto puxa o cabo. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
Também foi dada a hipótese: a tensão no cabo é uniforme. Objetivo: encontrar a aceleração
do helicóptero (para cima).
Passo 2
Primeiro passo concreto: calcular a velocidade do pulso ao longo do cabo. Um pulso percorre o comprimento
em tempo
, logo a velocidade do pulso é
Substituindo os valores:
Isso significa que a perturbação transverse viaja ao longo do cabo à velocidade
.
Passo 3
Agora a relação entre velocidade de onda, tensão e densidade linear: para ondas transversais em um cabo (ou corda) homogêneo a velocidade satisfaz
onde:
-
é a velocidade da onda (m/s), -
é a tensão no cabo (N), -
é a densidade linear de massa do cabo (kg/m), isto é .
Breve explicação intuitiva: a velocidade aumenta se a tensão
for maior (puxa a corda mais firme) e diminui se a massa por metro
for maior (mais inércia por trecho do cabo). Essa fórmula é padrão para ondas em cordas e serve direto aqui.
Passo 4
Calcular
e então a tensão
usando
.
Usando
obtemos
Como
,
Portanto a tensão no cabo (assumida uniforme) é
.
Passo 5
Agora ligar a tensão
com a aceleração do conjunto. O cabo está puxando para cima toda a massa do sistema: caminhante, funda e o próprio cabo. Como foi dada a hipótese de tensão uniforme podemos tratar a massa total acelerada como
Aplicando a segunda lei de Newton ao conjunto (forças verticais): a força para cima é
, para baixo é o peso total
. Então
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 6
Isolar
:
Usando
,
e
,
Logo
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos dos dados), temos
para cima.
Passo 7
Resumo e interpretação rápida (meio amigo te animando): o pulso rápido nos deu a tensão no cabo; com essa tensão, Newton nos dá a aceleração que o helicóptero imprime no conjunto. O valor obtido é moderado: cerca de
para cima — suficiente para sentir puxão, mas não extrema.