Um sólido em forma de paralelepípedo com dimensões
e 5 m tem densidade uniforme. Encontre o centro de massa do sólido.
Passo 1
O enunciado dá um sólido em forma de paralelepípedo com arestas de comprimento
,
e
e diz que a densidade é uniforme. A pergunta é: encontre o centro de massa do sólido.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O objetivo final é obter as coordenadas do centro de massa (centroide) do paralelepípedo.
Passo 2
Intuição rápida por simetria (resposta curta para fixar a ideia):
Um paralelepípedo com densidade uniforme é simétrico em relação ao plano médio em cada direção. Por simetria, o centro de massa fica exatamente no ponto médio em cada aresta. Assim esperamos que as coordenadas sejam os meios dos comprimentos: ,
,
. Vou demonstrar isso rigorosamente com integrais para você saber fazer em prova.
Um paralelepípedo com densidade uniforme é simétrico em relação ao plano médio em cada direção. Por simetria, o centro de massa fica exatamente no ponto médio em cada aresta. Assim esperamos que as coordenadas sejam os meios dos comprimentos:
Passo 3
Fórmula do centro de massa (explicação didática):
Para um corpo contínuo de densidade volumétrica a coordenada
do centro de massa é dada por
Para um corpo contínuo de densidade volumétrica
onde
é a massa total e
é um elemento de massa. Como a densidade é uniforme,
, sendo
o elemento de volume. O mesmo vale para
e
:
Aqui
, onde
é o volume do paralelepípedo.
Passo 4
Escolha de sistema de coordenadas e cálculo de
:
Escolho um sistema de coordenadas com a origem em um vértice do paralelepípedo e os eixos alinhados com as arestas, de modo que varia de
a
,
varia de
a
e
varia de
a
. O volume é
Escolho um sistema de coordenadas com a origem em um vértice do paralelepípedo e os eixos alinhados com as arestas, de modo que
A massa total é
Passo 5
Cálculo de
por integração (passo a passo):
Escrevemos a integral tripla para :
Escrevemos a integral tripla para
Como a integral separa-se nas variáveis,
Logo
Substituindo
,
Passo 6
Cálculo de
e
de forma análoga:
Para ,
Para
Para
,
Passo 7
Interpretação final e dica para prova:
Obtivemos as coordenadas
Obtivemos as coordenadas
Isto confirma a intuição por simetria: o centro de massa é o ponto médio em cada dimensão. Dica prática: em problemas com densidade uniforme e figuras simétricas, você pode pular as integrais na prova e usar imediatamente a simetria para achar o centro.