Um sólido em forma de paralelepípedo com dimensões 3 \mathrm{~m}, 4 \mathrm{~m} e 5 m tem densidade uniforme. Encontre o centro de massa do sólido.

Passo 1

O enunciado dá um sólido em forma de paralelepípedo com arestas de comprimento 3\\ \mathrm{m}, 4\\ \mathrm{m} e 5\\ \mathrm{m} e diz que a densidade é uniforme. A pergunta é: encontre o centro de massa do sólido.\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{comprimentos: }a=3\\ \mathrm{m},\quad b=4\\ \mathrm{m},\quad c=5\\ \mathrm{m},
\text{densidade uniforme (constante) } \rho.
O objetivo final é obter as coordenadas do centro de massa (centroide) do paralelepípedo.

Passo 2

Intuição rápida por simetria (resposta curta para fixar a ideia):
Um paralelepípedo com densidade uniforme é simétrico em relação ao plano médio em cada direção. Por simetria, o centro de massa fica exatamente no ponto médio em cada aresta. Assim esperamos que as coordenadas sejam os meios dos comprimentos: a/2, b/2, c/2. Vou demonstrar isso rigorosamente com integrais para você saber fazer em prova.

Passo 3

Fórmula do centro de massa (explicação didática):
Para um corpo contínuo de densidade volumétrica \rho a coordenada x do centro de massa é dada por
\bar{x}=\frac{1}{M}\int x\,dm,
onde M é a massa total e dm é um elemento de massa. Como a densidade é uniforme, dm=\rho\,dV, sendo dV o elemento de volume. O mesmo vale para \bar{y} e \bar{z}:
\bar{y}=\frac{1}{M}\int y\,dm,\qquad \bar{z}=\frac{1}{M}\int z\,dm.
Aqui M=\int dm=\rho\int dV=\rho V, onde V é o volume do paralelepípedo.

Passo 4

Escolha de sistema de coordenadas e cálculo de M:
Escolho um sistema de coordenadas com a origem em um vértice do paralelepípedo e os eixos alinhados com as arestas, de modo que x varia de 0 a 3, y varia de 0 a 4 e z varia de 0 a 5. O volume é
V = 3\cdot 4\cdot 5 = 60\\ \mathrm{m}^3.
A massa total é
M=\rho V=\rho\cdot 60.

Passo 5

Cálculo de \bar{x} por integração (passo a passo):
Escrevemos a integral tripla para \bar{x}:
\bar{x}=\frac{1}{M}\int\int\int x\,\rho\,dV =\frac{\rho}{M}\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{4}\int_{z=0}^{5} x\,dz\,dy\,dx.
Como a integral separa-se nas variáveis,
\int_{y=0}^{4}\int_{z=0}^{5}dz\,dy = (4)(5)=20.
Logo
\bar{x}=\frac{\rho}{M}\cdot 20\int_{0}^{3} x\,dx =\frac{\rho}{M}\cdot 20\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3} =\frac{\rho}{M}\cdot 20\cdot \tfrac{9}{2} =\frac{\rho}{M}\cdot 90.
Substituindo M=\rho\cdot 60,
\bar{x}=\frac{\rho\cdot 90}{\rho\cdot 60}=\frac{90}{60}=\frac{3}{2}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo de \bar{y} e \bar{z} de forma análoga:
Para \bar{y},
\bar{y}=\frac{\rho}{M}\int_{0}^{4}\int_{0}^{3}\int_{0}^{5} y\,dz\,dx\,dy =\frac{\rho}{M}\cdot (3)(5)\int_{0}^{4} y\,dy =\frac{\rho}{M}\cdot 15\left[\tfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{4} =\frac{\rho}{M}\cdot 15\cdot 8 =\frac{\rho\cdot 120}{\rho\cdot 60}=2\\ \mathrm{m}.
Para \bar{z},
\bar{z}=\frac{\rho}{M}\int_{0}^{5}\int_{0}^{3}\int_{0}^{4} z\,dy\,dx\,dz =\frac{\rho}{M}\cdot (3)(4)\int_{0}^{5} z\,dz =\frac{\rho}{M}\cdot 12\left[\tfrac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{5} =\frac{\rho}{M}\cdot 12\cdot \tfrac{25}{2} =\frac{\rho\cdot 150}{\rho\cdot 60}=\frac{5}{2}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação final e dica para prova:
Obtivemos as coordenadas
\bar{x}=\tfrac{3}{2}\\ \mathrm{m},\quad \bar{y}=2\\ \mathrm{m},\quad \bar{z}=\tfrac{5}{2}\\ \mathrm{m}.
Isto confirma a intuição por simetria: o centro de massa é o ponto médio em cada dimensão. Dica prática: em problemas com densidade uniforme e figuras simétricas, você pode pular as integrais na prova e usar imediatamente a simetria para achar o centro.

Resposta

\left(\tfrac{3}{2},\,2,\,\tfrac{5}{2}\right)\\ \mathrm{m}

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