Uma esfera sólida de raio
tem densidade volumétrica que varia com a distância
do centro segundo
, onde
. Calcule a posição radial do centro de massa.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera sólida de raio
com densidade volumétrica que depende apenas da distância
ao centro, dada por
onde
.
A pergunta é: qual é a posição radial do centro de massa? Ou seja, a que distância do centro da esfera está o centro de massa?
A pergunta é: qual é a posição radial do centro de massa? Ou seja, a que distância do centro da esfera está o centro de massa?
Passo 2
Vamos escrever a definição do centro de massa para um corpo contínuo. A posição do centro de massa é o vetor
onde
é a massa total e
é um elemento de massa. Explico cada coisa:
-
é o vetor posição de cada elemento de massa em relação ao centro da esfera (origem). -
, porque a massa de um volume pequeno é a densidade naquele ponto vezes o volume. - Em coordenadas esféricas o volume elementar é
e o vetor posição é
, onde
é o versor radial (aponta para a direção
).
Passo 3
Agora montamos o numerador do centro de massa (o integrando vetorial):
onde usamos
e escrevemos a separação entre a integral radial e a integral angular
.
Agora uma observação crucial (e bem intuitiva): a esfera e a densidade dependem apenas de
, ou seja, há simetria esférica. A integral angular do versor radial é nula:
Isso pode ser visto por simetria: para cada direção
existe a direção oposta
com o mesmo peso, então as contribuições se cancelam. Se preferir ver nos componentes, cada componente é uma integral do tipo
(ou com
, ou
), e todas essas integrais valem zero.
Portanto o numerador todo é o vetor nulo:
Passo 4
Como o numerador é
e a massa total
é finita e não nula (podemos calcular
só para confirmar), obtemos
Para checar que
de fato é positivo, calculemos rapidamente
:
Fazendo a integral:
logo
que é positivo (substituindo
e
dá
, só como curiosidade). Como
, a divisão acima é válida.
Fisicamente: como a distribuição de massa só muda com a distância ao centro, não há “lado favorito” da esfera — o centro de massa fica exatamente no centro geométrico.
Passo 5
Conclusão prática e encorajamento: o procedimento em provas é reconhecer a simetria, escrever
, notar que a integral angular de
é zero e concluir que o centro de massa coincide com o centro da esfera. Relaxa — esse tipo de questão é mais sobre perceber a simetria do que fazer contas pesadas.