Uma esfera sólida de raio R=0,4 \mathrm{~m} tem densidade volumétrica que varia com a distância r do centro segundo \rho(r)=\rho_{o}(1-r / R), onde \rho_{o}=5000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Calcule a posição radial do centro de massa.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera sólida de raio R=0{,}4\\ \mathrm{m} com densidade volumétrica que depende apenas da distância r ao centro, dada por
\rho(r)=\rho_{0}\Bigl(1-\frac{r}{R}\Bigr),
onde \rho_{0}=5000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
A pergunta é: qual é a posição radial do centro de massa? Ou seja, a que distância do centro da esfera está o centro de massa?

Passo 2

Vamos escrever a definição do centro de massa para um corpo contínuo. A posição do centro de massa é o vetor
\mathbf{R}_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\int \mathbf{r}\,dm,
onde M é a massa total e dm é um elemento de massa. Explico cada coisa:
  • \mathbf{r} é o vetor posição de cada elemento de massa em relação ao centro da esfera (origem).
  • dm=\rho(r)\,dV, porque a massa de um volume pequeno dV é a densidade naquele ponto vezes o volume.
  • Em coordenadas esféricas o volume elementar é
dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi,
e o vetor posição é \mathbf{r}=r\,\hat{\mathbf{r}}, onde \hat{\mathbf{r}} é o versor radial (aponta para a direção (\theta,\varphi)).

Passo 3

Agora montamos o numerador do centro de massa (o integrando vetorial):
\int \mathbf{r}\,dm=\int \bigl(r\,\hat{\mathbf{r}}\bigr)\rho(r)\,dV =\int_{0}^{R}\rho(r)\,r^{3}\,dr\;\int_{\Omega}\hat{\mathbf{r}}\,d\Omega,
onde usamos dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi e escrevemos a separação entre a integral radial e a integral angular \int_{\Omega}\cdot d\Omega=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}(\cdot)\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Agora uma observação crucial (e bem intuitiva): a esfera e a densidade dependem apenas de r, ou seja, há simetria esférica. A integral angular do versor radial é nula:
\int_{\Omega}\hat{\mathbf{r}}\,d\Omega=\mathbf{0}.
Isso pode ser visto por simetria: para cada direção \hat{\mathbf{r}} existe a direção oposta -\hat{\mathbf{r}} com o mesmo peso, então as contribuições se cancelam. Se preferir ver nos componentes, cada componente é uma integral do tipo \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos\varphi\,d\theta d\varphi (ou com \sin\varphi, ou \cos\theta), e todas essas integrais valem zero.
Portanto o numerador todo é o vetor nulo:
\int \mathbf{r}\,dm=\mathbf{0}.

Passo 4

Como o numerador é \mathbf{0} e a massa total M é finita e não nula (podemos calcular M só para confirmar), obtemos
\mathbf{R}_{\text{cm}}=\frac{\mathbf{0}}{M}=\mathbf{0}.
Para checar que M de fato é positivo, calculemos rapidamente M:
M=\int dm=\int \rho(r)\,dV=4\pi\int_{0}^{R}\rho(r)r^{2}\,dr =4\pi\rho_{0}\int_{0}^{R}\Bigl(1-\frac{r}{R}\Bigr)r^{2}\,dr.
Fazendo a integral:
\int_{0}^{R}\Bigl(1-\frac{r}{R}\Bigr)r^{2}\,dr =\frac{R^{3}}{3}-\frac{R^{3}}{4}=\frac{R^{3}}{12},
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M=4\pi\rho_{0}\frac{R^{3}}{12}=\frac{\pi}{3}\rho_{0}R^{3},
que é positivo (substituindo \rho_{0}=5000 e R=0{,}4\\ \mathrm{m} M\approx 335{,}1\\ \mathrm{kg}, só como curiosidade). Como M\neq 0, a divisão acima é válida.
Fisicamente: como a distribuição de massa só muda com a distância ao centro, não há “lado favorito” da esfera — o centro de massa fica exatamente no centro geométrico.

Passo 5

Conclusão prática e encorajamento: o procedimento em provas é reconhecer a simetria, escrever \mathbf{R}_{\text{cm}}=(1/M)\int \mathbf{r}\,dm, notar que a integral angular de \hat{\mathbf{r}} é zero e concluir que o centro de massa coincide com o centro da esfera. Relaxa — esse tipo de questão é mais sobre perceber a simetria do que fazer contas pesadas.

Resposta

\,0\\ \mathrm{m}

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