Um caminhão chega a uma borracharia com 22 pneus muchos com 42,7 psig e quer calibrá-los com 64 \mathrm{Lbf} / \mathrm{in}^{2}. Contudo, a borracharia está sem energia elétrica e o compressor não está funcionando.
Observando-se o reservatório do compressor, percebe-se que ele é um reservatório de 400 litros está cheio com 8 bar. Considerando-se que o pneu do caminhão tem \varnothing 700 \times \varnothing 400 \times 200 \mathrm{~mm}, avalie se será possível calibrar todos os 22 pneus. Caso não seja possível, o motorista do caminhão quer calibrar todos os 22 pneus por igual com a maior pressão possível, mesmo que abaixo da pressão de 64 \mathrm{Lbf} / \mathrm{in}^{2}. Neste caso, em que pressão devemos calibrar os pneus para que seja possível calibrá-los todos com a mesma pressão?

Passo 1

O enunciado descreve um caminhão com 22 pneus inicialmente a 42{,}7\\ \mathrm{psi} (gauge) que se deseja elevar a 64\\ \mathrm{lbf/in^2} (gauge). O único ar disponível está num reservatório de 400\\ \mathrm L cheio a 8\\ \mathrm{bar} (gauge). Cada pneu tem dimensões aproximadas Ø 700 × Ø 400 × 200 mm, o que permite aproximar seu volume interno por um toro. Assumiremos processo isotérmico e gás ideal, de modo que se conserva a “massa de ar” (ou, equivalentemente, a soma de pV) antes e depois da equalização.

Passo 2

Calcular o volume de um único pneu como um toro de raio maior R (meio da seção média) e raio menor r (meia largura do perfil).
R = \frac{350\\ \mathrm{mm} + 200\\ \mathrm{mm}}{2} \times 10^{-3} = 0{,}275\\ \mathrm m,\quad r = \frac{200\\ \mathrm{mm}}{2}\times10^{-3}=0{,}1\\ \mathrm m.
O volume do toro é
V_i = 2\pi^2\,R\,r^2 = 2\pi^2\,(0,275)\,(0,1)^2\approx0{,}0553\\ \mathrm m^3
em litros, V_i\approx55{,}3\\ \mathrm L. Para 22 pneus:
V_{\mathrm{total\_pneus}}=22\,V_i\approx22\times55{,}3\\ \mathrm L=1\,216\\ \mathrm L.

Passo 3

Converter as pressões gauge em absolutas (somar 1\\ \mathrm{bar} de atmosfera) e passar tudo a unidades compatíveis (bar e \mathrm m^3):
– Reservatório:
p_{0r,\rm abs}=8\\ \mathrm{bar(gauge)}+1\\ =9\\ \mathrm{bar},\quad V_r=400\\ \mathrm L=0{,}4\\ \mathrm m^3.
– Pneus iniciais:
42{,}7\\ \mathrm{psi}\approx42{,}7\times0{,}068948\\ \mathrm{bar}=2{,}945\\ \mathrm{bar(gauge)}, \quad p_{0p,\rm abs}=2{,}945+1=3{,}945\\ \mathrm{bar}.

Passo 4

Pelo balanço de massa de ar (isotérmico):
p_{0r}\,V_r + 22\,p_{0p}\,V_i \;=\; p_f\,(V_r + 22\,V_i).
Logo
p_f = \frac{p_{0r}\,V_r + 22\,p_{0p}\,V_i}{V_r + 22\,V_i}.

Passo 5

Substituindo os valores em \mathrm{bar} e \mathrm m^3:
\text{numerador} = 9\cdot0{,}4 + 22\cdot3{,}945\cdot0{,}0553 =3{,}6 +4{,}795=8{,}395\\ \mathrm{bar\cdot m^3},
\text{denominador}=0{,}4+22\cdot0{,}0553=1{,}615\\ \mathrm m^3,
p_{f,\rm abs}=\frac{8{,}395}{1{,}615}\approx5{,}194\\ \mathrm{bar}, \quad p_{f,\rm gauge}=5{,}194-1=4{,}194\\ \mathrm{bar}.

Passo 6

Converter p_{f,\rm gauge} para psi:
4{,}194\\ \mathrm{bar}\times14{,}5038\approx60{,}85\\ \mathrm{psi}.
Como 60{,}85\\ \mathrm{psi}<64\\ \mathrm{psi}, não é possível atingir 64\\ \mathrm{psi} em todos os pneus.

Resposta

Não é possível calibrar a 64\\ \mathrm{psi}. O maior valor uniforme que se obtém em todos os 22 pneus é aproximadamente
\boxed{60{,}9\\ \mathrm{psi}\quad(\approx4{,}19\\ \mathrm{bar\\ gauge}).}

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