Um caminhão rende quilômetros por litro quando conduzido a uma velocidade constante de x quilômetros por hora (entre e ). Seo preço do combustível é de R 3,00 $18,00 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} 70 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ é mais econômica para dirigir?

Passo 1

O enunciado diz que, a uma velocidade constante x (entre 50 e 70,km/h), o caminhão faz 600/x km por litro. O custo do litro de combustível é R$ 3,00) e o condutor ganha R e o condutor ganha R$ 18,00 por hora. Queremos encontrar a velocidade x que minimiza o custo total por quilômetro. Vamos usar otimização de função: montar o custo por km, derivar e achar o mínimo.

Passo 2

Calcular o custo por quilômetro.
1. O consumo de combustível é dfracx600 L por km, logo o custo de combustível por km é
Ccomb(x)=3cdotx600=x200
2. O tempo para percorrer 1 km é 1/x h, então o custo de mão de obra por km é
Cmão(x)=18cdot1x=18x ã
Logo o custo total por km é
C(x)=x200+18x

Passo 3

Para achar o mínimo de C(x) em [50,70], derivamos e igualamos a zero:
C'(x)=1200-18x^2=0 Longrightarrow 1200=18x^2 Longrightarrow x^2=18cdot200=3600 Longrightarrow x=60

Passo 4

Verificamos que x=60 km/h está no intervalo [50,70] e que C''(x)=36x^3>0, confirmando mínimo. Para checar nas bordas:
C(50)=50200+1850=0,25+0,36=0,61, C(60)=60200+1860=0,30+0,30=0,60, C(70)=70200+1870approx0,607
O menor custo é em x=60.

Resposta

A velocidade mais econômica é 60 km/h.

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