Exercício 6. Ache a temperatura de regime estacionário em um sólido limitado por duas superfícies cilíndricas concêntricas de raios
Sugestão: Considere a função (v=u-U_{0}].

Passo 1

O enunciado pede a temperatura de regime estacionário
Para simplificar, definimos
de modo que
e .

Passo 2

Expandimos f(theta) em série de Fourier sobre [0,2pi]. Calculamos o termo constante
a0=12piintegral0^2pif(theta),dtheta =-U02,
e para n>=1
an=1piintegral0^2pif(theta)cos(ntheta),dtheta=0,
bn=1piintegral0^2pif(theta)sin(ntheta),dtheta =-U0piintegralpi^2pisin(ntheta),dtheta =U0l(1-(-1)^nr)pi n
Logo bn=0 para n par e, para n=2m+1,
b2m+1=2U0pi(2m+1)
Assim
f(theta)=-U02 +summ=0^infty2U0pi(2m+1)sinl((2m+1)thetar)

Passo 3

Pela separação de variáveis, a solução geral de nabla^2v=0 no anel é
v(r,theta) =C0ln r+D0 +sumn=1^infty l(Cnr^n+Dnr^-nr)l[ancos(ntheta)+bnsin(ntheta)r]
Como an=0 e guardando apenas n=2m+1, escrevemos
v(r,theta) =C0ln r+D0 +summ=0^inftyl(C2m+1r^2m+1+D2m+1r^-(2m+1)r) 2U0pi(2m+1)sinl((2m+1)thetar)

Passo 4

Impondo v(a,theta)=0 e o termo constante em r=b igual a -U0/2, obtemos
C0ln a+D0=0, C0ln b+D0=-U02,
de onde
C0=-U02ln(b/a), D0=U0ln a2ln(b/a),
e assim
v0(r)=C0ln r+D0 =U02ln(b/a)lnar

Passo 5

Para cada n=2m+1, impomos
Cna^n+Dna^-n=0, Cnb^n+Dnb^-n=1
(de modo que em r=b o coeficiente produza bnsin(ntheta)). Da primeira vem Dn=-Cna^2n. Substituindo na segunda,
Cnl(b^n-a^2nb^-nr)=1 Rightarrow Cn=1b^n-a^2nb^-n, Dn=-a^2nb^n-a^2nb^-n
Logo cada modo é
l(Cnr^n+Dnr^-nr),bn =2U0pi n, r^n-a^2nr^-n,b^n-a^2nb^-n,, sin(ntheta)

Passo 6

Voltando à temperatura original u=v+U0, obtemos a solução completa
u(r,theta) =U0 +U02ln(b/a)lnar +sumn=1,3,5,dots^infty 2U0pi n r^n-a^2nr^-n,b^n-a^2nb^-n, sin(ntheta)

Resposta

boxed u(r,theta) =U0 +U02ln(b/a)lnar +summ=0^infty 2U0pi(2m+1) r^2m+1-a^2(2m+1)r^-(2m+1),b^2m+1-a^2(2m+1)b^-(2m+1), sinl((2m+1)thetar)

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