Exercício 6. Ache a temperatura de regime estacionário em um sólido limitado por duas superfícies cilíndricas concêntricas de raios
Sugestão: Considere a função (v=u-U_{0}].
Passo 1
O enunciado pede a temperatura de regime estacionário
Para simplificar, definimos
de modo que
e .
Passo 2
Expandimos
f(theta) em série de Fourier sobre
[0,2pi] . Calculamos o termo constante
e para
n>=1
Logo
bn=0 para
n par e, para
n=2m+1 ,
Assim
Passo 3
Pela separação de variáveis, a solução geral de
nabla^2v=0 no anel é
Como
an=0 e guardando apenas
n=2m+1 , escrevemos
Passo 4
Impondo
v(a,theta)=0 e o termo constante em
r=b igual a
-U0/2 , obtemos
de onde
e assim
Passo 5
Para cada
n=2m+1 , impomos
(de modo que em
r=b o coeficiente produza
bnsin(ntheta) ). Da primeira vem
Dn=-Cna^2n . Substituindo na segunda,
Logo cada modo é
Passo 6
Voltando à temperatura original
u=v+U0 , obtemos a solução completa