Uma caminhonete está transportando uma caixa de ferramentas, mas a tampa traseira está faltando. A caixa deslizará para fora se começar a se mover. Os coeficientes de atrito cinético e estático entre a caixa e a carroceria horizontal da caminhonete são 0,355 e 0,650 , respectivamente. Partindo do repouso, qual é o menor tempo em que essa caminhonete pode acelerar uniformemente até 30,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sem fazer a caixa deslizar? Dado: \mathrm{g}=9,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: “Partindo do repouso, qual é o menor tempo em que a caminhonete pode acelerar uniformemente até 30{,}0\\ \mathrm{m/s} sem fazer a caixa deslizar?”
Dados fornecidos:
  • Velocidade final desejada: v=30{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Coeficiente de atrito estático: \mu_s=0{,}650.
  • Coeficiente de atrito cinético: \mu_k=0{,}355 (fornecido, mas a caixa não deve deslizar, então será apenas comentado).
  • Gravidade: g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}.
    Pergunta a responder: menor tempo t (assumindo aceleração uniforme) tal que a caixa não deslize em relação à carroceria.

Passo 2

Entendendo fisicamente o problema (aula rápida):
  • A caixa tem tendência de permanecer em repouso (inércia) quando a caminhonete acelera. Para a caixa acompanhar a aceleração do veículo sem deslizar, alguma força horizontal precisa puxá-la junto: essa força é a força de atrito estático entre a caixa e a carroceria.
  • A força de atrito estático máxima disponível é \,f_{s,\max}=\mu_s N, onde N é a força normal (a força vertical que a superfície exerce sobre a caixa).
  • Como a superfície é horizontal e não há forças verticais extras, N é igual ao peso da caixa: N=m g, em que m é a massa da caixa (a massa cancela depois, então não é necessária).
  • Portanto \,f_{s,\max}=\mu_s m g. Essa é a maior força horizontal que a superfície pode fornecer sem que a caixa comece a deslizar.
  • Para que a caixa acelere junto com a caminhonete com aceleração a, é preciso que a força horizontal sobre a caixa seja m a. Logo, para não deslizar vale a condição
m a \le f_{s,\max}=\mu_s m g.
  • Cancelando m (a massa da caixa não nos interessa), obtemos a condição máxima para a aceleração:
a \le \mu_s g.
  • Observação sobre \mu_k: se a caminhonete acelerasse mais que \mu_s g, a caixa deslizaria e então a força de atrito seria a cinética \mu_k m g, que vale menos; mas isso não é permitido pelo enunciado.

Passo 3

Determinar a maior aceleração permitida sem deslize:
Usando a relação anterior,
a_{\max}=\mu_s g.
Explicando cada símbolo:
  • \,a_{\max} é a maior aceleração da caminhonete (e da caixa) que evita deslizamento.
  • \mu_s é o coeficiente de atrito estático dado.
  • g é a aceleração da gravidade dada.
Agora substituímos numericamente:
a_{\max} = 0{,}650 \times 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Cálculo numérico de a_{\max}:
a_{\max} = 0{,}650\cdot 9{,}80 = 6{,}37\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Relacionando aceleração, velocidade e tempo (movimento uniformemente acelerado a partir do repouso):
Para aceleração constante a partir do repouso vale a fórmula
v = a t,
onde:
  • v é a velocidade final,
  • a é a aceleração constante,
  • t é o tempo de aceleração.
    Queremos o menor tempo possível sem deslize, então usamos a=a_{\max}. Isolando t:
t=\frac{v}{a_{\max}}.
Substituindo os valores:
t=\frac{30{,}0}{6{,}37}\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Cálculo final do tempo:
t=\frac{30{,}0}{6{,}37}\approx 4{,}71\\ \mathrm{s}.
Interpretação final rápida e incentivo: isso significa que a caminhonete deve acelerar no máximo cerca de 6{,}37\\ \mathrm{m/s^2}; acelerar mais rápido que isso fará a caixa deslizar. Está indo bem — concentre esse raciocínio em problemas parecidos: sempre compare a força necessária para acelerar o objeto com a força de atrito máxima disponível.

Resposta

4{,}71\\ \mathrm{s}

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