Uma caminhonete está transportando uma caixa de ferramentas, mas a tampa traseira está faltando. A caixa deslizará para fora se começar a se mover. Os coeficientes de atrito cinético e estático entre a caixa e a carroceria horizontal da caminhonete são 0,355 e 0,650 , respectivamente. Partindo do repouso, qual é o menor tempo em que essa caminhonete pode acelerar uniformemente até
sem fazer a caixa deslizar? Dado:
.
Passo 1
O enunciado pede: “Partindo do repouso, qual é o menor tempo em que a caminhonete pode acelerar uniformemente até
sem fazer a caixa deslizar?”
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- Velocidade final desejada:
. - Coeficiente de atrito estático:
. - Coeficiente de atrito cinético:
(fornecido, mas a caixa não deve deslizar, então será apenas comentado). - Gravidade:
.
Pergunta a responder: menor tempo(assumindo aceleração uniforme) tal que a caixa não deslize em relação à carroceria.
Passo 2
Entendendo fisicamente o problema (aula rápida):
- A caixa tem tendência de permanecer em repouso (inércia) quando a caminhonete acelera. Para a caixa acompanhar a aceleração do veículo sem deslizar, alguma força horizontal precisa puxá-la junto: essa força é a força de atrito estático entre a caixa e a carroceria.
- A força de atrito estático máxima disponível é
, onde é a força normal (a força vertical que a superfície exerce sobre a caixa). - Como a superfície é horizontal e não há forças verticais extras,
é igual ao peso da caixa: , em que é a massa da caixa (a massa cancela depois, então não é necessária). - Portanto
. Essa é a maior força horizontal que a superfície pode fornecer sem que a caixa comece a deslizar. - Para que a caixa acelere junto com a caminhonete com aceleração
, é preciso que a força horizontal sobre a caixa seja . Logo, para não deslizar vale a condição
- Cancelando
(a massa da caixa não nos interessa), obtemos a condição máxima para a aceleração:
- Observação sobre
: se a caminhonete acelerasse mais que , a caixa deslizaria e então a força de atrito seria a cinética , que vale menos; mas isso não é permitido pelo enunciado.
Passo 3
Determinar a maior aceleração permitida sem deslize:
Usando a relação anterior,
Usando a relação anterior,
Explicando cada símbolo:
-
é a maior aceleração da caminhonete (e da caixa) que evita deslizamento. -
é o coeficiente de atrito estático dado. -
é a aceleração da gravidade dada.
Agora substituímos numericamente:
Passo 4
Cálculo numérico de
:
Passo 5
Relacionando aceleração, velocidade e tempo (movimento uniformemente acelerado a partir do repouso):
Para aceleração constante a partir do repouso vale a fórmula
Para aceleração constante a partir do repouso vale a fórmula
onde:
-
é a velocidade final, -
é a aceleração constante, -
é o tempo de aceleração.
Queremos o menor tempo possível sem deslize, então usamos. Isolando :
Substituindo os valores:
Passo 6
Cálculo final do tempo:
Interpretação final rápida e incentivo: isso significa que a caminhonete deve acelerar no máximo cerca de
; acelerar mais rápido que isso fará a caixa deslizar. Está indo bem — concentre esse raciocínio em problemas parecidos: sempre compare a força necessária para acelerar o objeto com a força de atrito máxima disponível.