Um campo elétrico é dado por
\overrightarrow{\mathcal{E}}=\frac{\rho_{0} r^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3}} \hat{\mathbf{r}}, \quad r \leq R
onde \rho_{0} é uma constante, e são usadas coordenadas esféricas. Determine o fluxo elétrico total através de uma superfície esférica de raio r \leq R centrada na origem, e interprete fisicamente o resultado obtido.

Passo 1

Enunciado e o que se pede:\n
  • Dado o campo elétrico em coordenadas esféricas
\overrightarrow{\mathcal{E}}=\frac{\rho_{0}\, r^{2}}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}}\,\hat{\mathbf{r}},\quad r\le R,
onde \rho_{0} e R são constantes e \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo.\n
  • Pedem-se duas coisas: (1) o fluxo elétrico total através de uma superfície esférica de raio r com r\le R e centro na origem; (2) interpretar fisicamente o resultado obtido.\n
    Informações relevantes dadas: o campo é radial (na direção \hat{\mathbf{r}}) e depende somente da distância radial r. A superfície é uma esfera centrada na origem com raio r\le R.

Passo 2

Cálculo do fluxo usando definição de fluxo via integral de superfície.\n
Lembre que o fluxo elétrico total através de uma superfície S é
\Phi=\oint_{S}\overrightarrow{\mathcal{E}}\cdot d\overrightarrow{A}.
Para uma esfera de raio r centrada na origem o elemento de área vetorial é
d\overrightarrow{A}=r^{2}\sin\theta\, d\theta\, d\varphi\;\hat{\mathbf{r}},
onde \theta e \varphi são os ângulos esféricos usuais. Como \overrightarrow{\mathcal{E}} é radial, o produto escalar fica simples:
\overrightarrow{\mathcal{E}}\cdot d\overrightarrow{A}=E_{r}(r)\,r^{2}\sin\theta\, d\theta\, d\varphi,
onde E_{r}(r) é a componente radial do campo, isto é
E_{r}(r)=\frac{\rho_{0}\, r^{2}}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}}.

Passo 3

Avaliação da integral de superfície.\n
Substituímos E_{r}(r) na integral e integramos sobre a esfera ( \theta de 0 a \pi e \varphi de 0 a 2\pi):
\Phi=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\left(\frac{\rho_{0}\, r^{2}}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}}\right)r^{2}\sin\theta\, d\theta\, d\varphi.
Fatorando constantes que não dependem de \theta,\varphi:
\Phi=\frac{\rho_{0}\, r^{4}}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}}\int_{0}^{2\pi}\!d\varphi\int_{0}^{\pi}\sin\theta\, d\theta.
As integrais angulares são \int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi e \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2, logo o produto é 4\pi. Portanto
\Phi=\frac{\rho_{0}\, r^{4}}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}}\cdot 4\pi=\frac{\rho_{0}\, r^{4}}{\epsilon_{0} R^{3}}.

Passo 4

Verificação alternativa pelo Teorema de Gauss (intuição física).\n
O Teorema de Gauss diz que o fluxo através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada dividida por \epsilon_{0}:
\Phi=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_{0}}.
Podemos então calcular a densidade volumétrica de carga \rho(\mathbf{r}) associada a esse campo usando a relação local \rho(\mathbf{r})=\epsilon_{0}\,\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{E}}. Para um campo radial E_{r}(r) vale
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{E}}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}E_{r}(r)\right).
Aqui r^{2}E_{r}(r)=r^{2}\cdot\frac{\rho_{0} r^{2}}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}}=\frac{\rho_{0} r^{4}}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}}. Derivando:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}E_{r}\right)=\frac{\rho_{0}}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}}\cdot 4r^{3}=\frac{\rho_{0} r^{3}}{\pi \epsilon_{0} R^{3}}.
Dividindo por r^{2}:
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{E}}=\frac{\rho_{0} r}{\pi \epsilon_{0} R^{3}}.
Multiplicando por \epsilon_{0} obtemos a densidade de carga volumétrica
\rho(r)=\epsilon_{0}\,\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{E}}=\frac{\rho_{0} r}{\pi R^{3}}.

Passo 5

Cálculo da carga encerrada e confirmação do fluxo.\n
A carga encerrada pela esfera de raio r é
Q_{\text{enc}}=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}dr'=\int_{0}^{r}\frac{\rho_{0} r'}{\pi R^{3}}\;4\pi r'^{2}dr'.
Simplificando constantes:
Q_{\text{enc}}=\frac{4\rho_{0}}{R^{3}}\int_{0}^{r}r'^{3}dr'=\frac{4\rho_{0}}{R^{3}}\cdot\frac{r^{4}}{4}=\frac{\rho_{0} r^{4}}{R^{3}}.
Pelo Teorema de Gauss:
\Phi=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_{0}}=\frac{\rho_{0} r^{4}}{\epsilon_{0} R^{3}},
que coincide com o resultado obtido diretamente pela integral de superfície. Boa notícia: consistência entre cálculo e física!

Passo 6

Interpretação física do resultado (explicação didática e intuição).\n
  • O fluxo elétrico através da esfera de raio r\le R é
\Phi=\frac{\rho_{0}\, r^{4}}{\epsilon_{0} R^{3}}.
  • Pelo Teorema de Gauss, o fluxo cresce porque a carga total dentro da esfera cresce quando aumentamos r. Aqui a densidade volumétrica de carga encontrada é \rho(r)=\dfrac{\rho_{0} r}{\pi R^{3}}, ou seja, a densidade de carga aumenta linearmente com r. Isso explica por que a carga encerrada (e portanto o fluxo) cresce rápido com r: Q_{\text{enc}}\propto r^{4} e, portanto, \Phi\propto r^{4}.\n
  • No centro ( r=0) não há fluxo (campo zero no centro), e conforme nos aproximamos de r=R o fluxo atinge \Phi(R)=\dfrac{\rho_{0} R^{4}}{\epsilon_{0} R^{3}}=\dfrac{\rho_{0} R}{\epsilon_{0}}, que é a carga total presente até r=R dividida por \epsilon_{0}.\n
  • Intuição simples: o campo é radial e cresce como r^{2} dentro, então a contribuição por unidade de área cresce com r^{2}, e como a área da esfera é \propto r^{2}, o fluxo total é produto desses comportamentos \propto r^{2}\cdot r^{2}=r^{4}. Isso corresponde também ao fato físico de densidade de carga maior em regiões mais externas do volume.

Resposta

\displaystyle \Phi=\frac{\rho_{0}\, r^{4}}{\epsilon_{0} R^{3}}\n
Interpretação: o fluxo cresce como r^{4} porque a densidade de carga volumétrica é \displaystyle \rho(r)=\frac{\rho_{0} r}{\pi R^{3}} (aumenta linearmente com r), logo a carga encerrada é \displaystyle Q_{\text{enc}}=\frac{\rho_{0} r^{4}}{R^{3}} e \Phi=Q_{\text{enc}}/\epsilon_{0}.

Exercícios relacionados