Um campo elétrico é dado por
onde
é uma constante, e são usadas coordenadas esféricas. Determine o fluxo elétrico total através de uma superfície esférica de raio
centrada na origem, e interprete fisicamente o resultado obtido.
Passo 1
Enunciado e o que se pede:\n
- Dado o campo elétrico em coordenadas esféricas
onde
e
são constantes e
é a permissividade do vácuo.\n
- Pedem-se duas coisas: (1) o fluxo elétrico total através de uma superfície esférica de raio
com e centro na origem; (2) interpretar fisicamente o resultado obtido.\n
Informações relevantes dadas: o campo é radial (na direção) e depende somente da distância radial . A superfície é uma esfera centrada na origem com raio .
Passo 2
Cálculo do fluxo usando definição de fluxo via integral de superfície.\n
Lembre que o fluxo elétrico total através de uma superfície é
Lembre que o fluxo elétrico total através de uma superfície
Para uma esfera de raio
centrada na origem o elemento de área vetorial é
onde
e
são os ângulos esféricos usuais. Como
é radial, o produto escalar fica simples:
onde
é a componente radial do campo, isto é
Passo 3
Avaliação da integral de superfície.\n
Substituímos na integral e integramos sobre a esfera (
de
a
e
de
a
):
Substituímos
Fatorando constantes que não dependem de
:
As integrais angulares são
e
, logo o produto é
. Portanto
Passo 4
Verificação alternativa pelo Teorema de Gauss (intuição física).\n
O Teorema de Gauss diz que o fluxo através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada dividida por :
O Teorema de Gauss diz que o fluxo através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada dividida por
Podemos então calcular a densidade volumétrica de carga
associada a esse campo usando a relação local
. Para um campo radial
vale
Aqui
. Derivando:
Dividindo por
:
Multiplicando por
obtemos a densidade de carga volumétrica
Passo 5
Cálculo da carga encerrada e confirmação do fluxo.\n
A carga encerrada pela esfera de raio é
A carga encerrada pela esfera de raio
Simplificando constantes:
Pelo Teorema de Gauss:
que coincide com o resultado obtido diretamente pela integral de superfície. Boa notícia: consistência entre cálculo e física!
Passo 6
Interpretação física do resultado (explicação didática e intuição).\n
- O fluxo elétrico através da esfera de raio
é
- Pelo Teorema de Gauss, o fluxo cresce porque a carga total dentro da esfera cresce quando aumentamos
. Aqui a densidade volumétrica de carga encontrada é , ou seja, a densidade de carga aumenta linearmente com . Isso explica por que a carga encerrada (e portanto o fluxo) cresce rápido com : e, portanto, .\n - No centro (
) não há fluxo (campo zero no centro), e conforme nos aproximamos de o fluxo atinge , que é a carga total presente até dividida por .\n - Intuição simples: o campo é radial e cresce como
dentro, então a contribuição por unidade de área cresce com , e como a área da esfera é , o fluxo total é produto desses comportamentos . Isso corresponde também ao fato físico de densidade de carga maior em regiões mais externas do volume.
Resposta
Interpretação: o fluxo cresce como