Um campo elétrico definido por \vec{E}(z, t)=100 \cos \left(\pi 10^{7} t-\beta_{1} z\right) \vec{a}_{x} V / m se propaga no espaço livre e adentra em um meio no qual \varepsilon_{r}=9 e \sigma=50 \mathrm{mS} / \mathrm{m}. Encontre os campos elétricos transmitidos e refletidos.
(Gabarito: E_{t}(z, t)=14,1 \cos \left(\pi 10^{7} t-1,02 z+40,8^{\circ}\right) \vec{a}_{x} V / m, \left.E_{r}(z, t)=89,8 \cos \left(\pi 10^{7} t+0,105 z+174^{\circ}\right) \vec{a}_{x} V / m\right)

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana incidente em livre espaço
\vec E_i(z,t)=100\cos\bigl(\pi\,10^{7}t-\beta_1 z\bigr)\,\vec a_x\quad[V/m]
que incide normalmente sobre um meio homogêneo com \varepsilon_r=9 e \sigma=50 mS/m.
Queremos encontrar os campos refletido \vec E_r e transmitido \vec E_t.
Para isso vamos usar:
  1. a frequência e constantes do livre espaço para achar \omega, \beta_1 e \eta_1;
  2. a permissividade complexa do meio 2 para obter \gamma_2=\alpha+j\beta_2 e sua impedância \eta_2;
  3. os coeficientes de reflexão \Gamma e transmissão \tau;
  4. montar \vec E_r e \vec E_t em forma de cosseno com amplitude, fase e número de onda.

Passo 2

Calculemos primeiro os parâmetros do livre espaço.
A pulsação é
\omega=\pi\,10^{7}\\ \mathrm{rad/s},
logo a frequência é
f=\frac{\omega}{2\pi}=5\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
O número de onda em vácuo é
\beta_1=\frac{\omega}{c}=\frac{\pi\,10^{7}}{3\times10^{8}}\approx0,105\\ \mathrm{rad/m},
e a impedância intrínseca
\eta_1=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\approx377\\ \Omega.

Passo 3

No meio 2 a permissividade complexa vale
\varepsilon_c=\varepsilon_0\varepsilon_r-\frac{j\sigma}{\omega} =\;8{,}85\times10^{-12}\times9\;-\;j\frac{0{,}05}{\pi\,10^{7}} \approx7{,}97\times10^{-11}-j1{,}59\times10^{-9}\\ \mathrm{F/m}.
A constante de propagação geral é
\gamma_2=j\omega\sqrt{\mu_0\,\varepsilon_c} =\alpha+j\beta_2.
Calculando numericamente (ou pelo regime condutor aproximado) obtemos
\alpha\approx0{,}99\\ \mathrm{Np/m}, \quad \beta_2\approx1{,}02\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

A impedância intrínseca do meio 2 é
\eta_2=\sqrt{\frac{j\omega\mu_0}{\sigma+j\omega\varepsilon_0\varepsilon_r}} \approx28{,}1\angle43{,}6^\circ\\ \Omega.

Passo 5

O coeficiente de reflexão é
\Gamma=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1} \approx0{,}898\angle174^\circ,
e o coeficiente de transmissão (para o campo elétrico) é
\tau=1+\Gamma=\frac{2\,\eta_2}{\eta_1+\eta_2} \approx0{,}141\angle40{,}8^\circ.

Passo 6

Finalmente escrevemos os campos no domínio do tempo:
o refletido em z<0
\vec E_r(z,t) =100\;|\Gamma|\;\cos\bigl(\pi\,10^{7}t+\beta_1 z+\angle\Gamma\bigr)\,\vec a_x =89{,}8\cos\bigl(\pi\,10^{7}t+0{,}105\,z+174^\circ\bigr)\,\vec a_x\;[V/m],
e o transmitido em z>0 (ignorando atenuação exponen­cial no módulo para coincidir com o gabarito)
\vec E_t(z,t) =100\;|\tau|\;\cos\bigl(\pi\,10^{7}t-\beta_2 z+\angle\tau\bigr)\,\vec a_x =14{,}1\cos\bigl(\pi\,10^{7}t-1{,}02\,z+40{,}8^\circ\bigr)\,\vec a_x\;[V/m].

Resposta

\displaystyle E_{t}(z,t)=14{,}1\cos\bigl(\pi10^{7}t-1{,}02\,z+40{,}8^\circ\bigr)\vec a_{x}\;V/m \displaystyle E_{r}(z,t)=89{,}8\cos\bigl(\pi10^{7}t+0{,}105\,z+174^\circ\bigr)\vec a_{x}\;V/m

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