Um campo elétrico definido por \vec{E}(z, t)=100 \cos \left(\pi 10^{7} t-\beta_{1} z\right) \vec{a}_{x} V / m se propaga no espaço livre e adentra em um meio no qual \varepsilon_{r}=9 e \sigma=50 \mathrm{mS} / \mathrm{m}. Encontre o campo elétrico refletido e a densidade de potência média refletida.
(Gabarito: E_{t}(z, t)=14,1 \cos \left(\pi 10^{7} t-1,02 z+40,8^{\circ}\right) \vec{a}_{x} V / m, \left.P=10,7\left(-\vec{a}_{z}\right) \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana no vácuo com
\vec{E}_i(z,t)=100\cos\bigl(\pi10^{7}t-\beta_{1}z\bigr)\,\vec{a}_x\quad\text{(V/m)}
incidindo em z=0 sobre um meio com \varepsilon_r=9 e \sigma=50 mS/m.
Precisamos achar o campo elétrico transmitido \vec{E}_t(z,t) dentro desse meio e a densidade de potência média refletida \langle\vec{S}_r\rangle.
Conteúdo: parâmetros de meio (impedância, constante de propagação), coeficiente de transmissão/reflexão, e vetor de Poynting médio.

Passo 2

Calculemos a frequência angular e a permissividade complexa do meio 2:
\omega=\pi\cdot 10^{7}\\ \text{rad/s}, \qquad \varepsilon_2=\varepsilon_0\varepsilon_r - j\,\frac{\sigma}{\omega}.
Substituindo \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12} F/m e \sigma=0{,}05 S/m, obtém–se numericamente
\varepsilon_2\approx 7{,}965\times10^{-11}-j\,1{,}592\times10^{-9}\quad\text{F/m}.

Passo 3

A constante de propagação no meio 2 é
\gamma_2 =\sqrt{j\omega\mu_0\bigl(\sigma+j\omega\varepsilon_0\varepsilon_r\bigr)} =\alpha_2+j\beta_2.
Numericamente encontra–se
\beta_2\approx1{,}02\\ \text{rad/m}.

Passo 4

As impedâncias de onda são
\eta_1=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\approx377\\ \Omega,\qquad \eta_2=\sqrt{\frac{j\omega\mu_0}{\sigma+j\omega\varepsilon_0\varepsilon_r}}.
Fazendo as contas,
\eta_2\approx28{,}05\angle45^\circ\\ \Omega.

Passo 5

O coeficiente de transmissão (campo) é
T=\frac{2\,\eta_2}{\eta_2+\eta_1} \quad\Longrightarrow\quad |T|\approx0{,}141, \quad \arg T\approx40{,}8^\circ.

Passo 6

O campo transmitido fica então
\vec{E}_t(z,t) =100\,|T|\, \cos\Bigl(\pi10^{7}t-\beta_2\,z+\arg T\Bigr)\,\vec{a}_x
ou seja
\boxed{ \vec{E}_t(z,t) =14{,}1\, \cos\bigl(\pi10^{7}t-1{,}02\,z+40{,}8^\circ\bigr)\,\vec{a}_x\quad\text{V/m}. }

Passo 7

A densidade de potência média refletida é
\langle S_r\rangle =|\Gamma|^2\;\frac{E_0^2}{2\,\eta_1}\,\bigl(-\vec{a}_z\bigr),
com \Gamma=(\eta_2-\eta_1)/(\eta_2+\eta_1). Numericamente dá
\boxed{ \langle\vec{S}_r\rangle =10{,}7\,\bigl(-\vec{a}_z\bigr)\quad\text{W/m}^2. }

Resposta

\displaystyle \vec{E}_t(z,t) =14{,}1\cos\bigl(\pi10^{7}t-1{,}02\,z+40{,}8^\circ\bigr)\,\vec{a}_x\\ \text{V/m}, \quad \langle\vec{S}_r\rangle =10{,}7\bigl(-\vec{a}_z\bigr)\\ \text{W/m}^2.

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