O campo elétrico dentro de uma esfera de raio R, que contém uma densidade de carga uniforme \rho, é radial e seu módulo é dado por E(r)=\frac{Q \cdot r}{4 \pi \epsilon_{o} R^{3}}, onde Q é a carga total da esfera e r é a distância ao centro. Determine:
(a) a esfera é condutora?
(b) Determine o potencial V(r), adotando V=0 no centro.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de raio R com densidade de carga uniforme \rho, cuja carga total é
Q = \tfrac{4\pi R^{3}\rho}{3},
e diz que, no interior 0\le r\le R, o campo elétrico é radial com módulo
E(r) = \frac{Q\,r}{4\pi\epsilon_{0}R^{3}}.
Pede-se (a) verificar se essa esfera é condutora e (b) encontrar o potencial V(r) com a condição V(0)=0. Vamos usar a propriedade de condutores em equilíbrio eletrostático e a relação entre campo e potencial,
E(r) = -\frac{\dd V}{\dd r}.

Passo 2

Em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior deve ser zero. Aqui, porém, vemos que
E(r)=\frac{Q\,r}{4\pi\epsilon_{0}R^{3}}\neq 0 \quad\text{para }r>0.
Logo, essa esfera não pode ser condutora; trata-se de um isolante com carga distribuída volumetricamente.

Passo 3

Para obter o potencial, aplicamos
E(r) = -\frac{\dd V}{\dd r} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\dd V}{\dd r} = -\,\frac{Q\,r}{4\pi\epsilon_{0}R^{3}}.
Integramos de r'=0 até r'=r, usando V(0)=0:

Passo 4

V(r)-V(0) = \int_{0}^{r}\frac{\dd V}{\dd r'}\,\dd r' = -\int_{0}^{r}\frac{Q\,r'}{4\pi\epsilon_{0}R^{3}}\,\dd r' = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{3}}\;\frac{r^{2}}{2}.
Portanto
V(r) = -\frac{Q\,r^{2}}{8\pi\epsilon_{0}R^{3}}.
Em termos de \rho, como Q=\tfrac{4\pi R^{3}\rho}{3}, obtém-se ainda
V(r) = -\,\frac{\rho\,r^{2}}{6\epsilon_{0}}.

Resposta

(a) A esfera não é condutora.
(b)
V(r) = -\frac{Q\,r^{2}}{8\pi\epsilon_{0}R^{3}}.

Exercícios relacionados