Um cilindro de raio R e comprimento L \gg R tem uma distribuição uniforme de cargas, dada por \rho(r), em seu interior.
O cilindro é isolante. O campo elétrico interno cresce linearmente com r (distância ao eixo do cilindro). Na superfície do cilindro o campo é radial, isto é, ortogonal ao cilindro. Do lado de fora, o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada que não cruze o cilindro é nulo, apesar do campo não ser igual a zero nesta região. Seu módulo cai com 1 / r e sua direção é radial, como na superfície.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado trata de um cilindro isolante de raio R e comprimento L\gg R com densidade volumétrica de carga uniforme \rho. Pede-se avaliar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, usando em particular a Lei de Gauss:
  1. O campo elétrico no interior do cilindro cresce linearmente com a distância r ao eixo.
  2. Na superfície e fora do cilindro o campo é radial e seu módulo decai como 1/r.
  3. O fluxo do campo através de qualquer superfície fechada que não intercepte regiões carregadas do cilindro seria nulo, apesar de o campo externo não ser zero.

Passo 2

Para r<R aplicamos a Lei de Gauss a um cilindro coaxial de raio r e comprimento L. A carga envolvida é
Q_{\rm int} = \rho \,\pi r^2 L
e o fluxo é \Phi = E(r)\,(2\pi rL). Assim
E(r)\,2\pi rL = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{\rho\,r}{2\varepsilon_0}.
Logo, E(r)\propto r, confirma o crescimento linear no interior.

Passo 3

Para r>R usamos a mesma superfície gaussiana de raio r. Agora a carga envolvida é
Q_{\rm tot} = \rho \,\pi R^2 L
e
E(r)\,2\pi rL = \frac{Q_{\rm tot}}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{\rho\,R^2}{2\varepsilon_0\,r},
ou seja, decai como 1/r e permanece radial.

Passo 4

A Lei de Gauss diz que o fluxo através de qualquer superfície fechada é \Phi = Q_{\rm int}/\varepsilon_0, onde Q_{\rm int} é a carga dentro dela. Se a superfície não intercepta a região carregada, mas engloba todo o cilindro, então Q_{\rm int}=\rho\pi R^2L\neq0 e o fluxo não é nulo. Só seria nulo se ela não envolvesse nenhuma carga. Portanto a afirmação de que “o fluxo é nulo apesar de o campo externo existir” está incorreta em geral.

Resposta

Falso

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