O campo elétrico de um dipolo elétrico em pontos sobre o eixo do dipolo é dado aproximadamente pelas Eqs. 22-8 e 22-9, obtidas considerando apenas os dois primeiros termos das duas expansões binomiais que aparecem na Eq. 22-7. Se fosse considerado um número maior de termos das expansões binomiais, qual seria o termo seguinte diferente de zero na expressão do campo elétrico de um dipolo elétrico em pontos sobre o eixo do dipolo? Em outras palavras, qual seria o valor de E1 na expressão
E=12 pi varepsilon0 q dz^3+E1?

Passo 1

Então, o enunciado pergunta qual é o próximo termo não-zero que aparece quando a gente expande numérica e binomialmente o campo de um dipolo elétrico (cargas ±q separadas por distância d) ao longo do eixo, além do primeiro termo
E=12pivarepsilon0,q,dz^3;
Estamos na matéria de campo de dipolo e vamos usar a série binomial para expandir
1(zpm d/2)^2
em potências de .

Passo 2

Escrevemos a expressão exata do campo no eixo (positivo) devido às duas cargas ±q:
E(z) =q4pivarepsilon0gl[1(z - d/2)^2-1(z + d/2)^2gr],
Aqui é só aplicação do princípio da superposição em uma linha.

Passo 3

Agora vamos usar a expansão binomial
1(zpm d/2)^2 =1z^2,1l(1pm tfracd2zr)^2 =1z^2sumn=0^infty(-1)^n(n+1)l(pmtfracd2zr)^n
Isso funciona se . Aí cada soma gera potências de .

Passo 4

Subtraindo as duas séries, só os termos ímpares sobrevivem (porque para E(z) =q4pivarepsilon0,z^2summ=0^infty 4(m+1)l(d2zr)^2m+1 par o termo anula). Chamando para m=1: 4(m+1)l(d2zr)^3 =8;d^38,z^3=d^3z^3,, , cada parcela dá
E1 =q4pivarepsilon0,d^3z^5,
O primeiro membro ( ) é o já conhecido . O próximo não-zero vem de :
e levando o externo e o fator , dá

Resposta

O próximo termo não-zero boxedE1 =q,d^34pivarepsilon0,z^5 Longrightarrow E=12pivarepsilon0,q,dz^3+E1, na expansão é

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