O campo elétrico de um dipolo elétrico em pontos sobre o eixo do dipolo é dado aproximadamente pelas Eqs. 22-8 e 22-9, obtidas considerando apenas os dois primeiros termos das duas expansões binomiais que aparecem na Eq. 22-7. Se fosse considerado um número maior de termos das expansões binomiais, qual seria o termo seguinte diferente de zero na expressão do campo elétrico de um dipolo elétrico em pontos sobre o eixo do dipolo? Em outras palavras, qual seria o valor de
na expressão
?
Passo 1
Então, o enunciado pergunta qual é o próximo termo não-zero que aparece quando a gente expande numérica e binomialmente o campo de um dipolo elétrico (cargas ±q separadas por distância d) ao longo do eixo, além do primeiro termo
Estamos na matéria de campo de dipolo e vamos usar a série binomial para expandir
em potências de
.
Passo 2
Escrevemos a expressão exata do campo no eixo (positivo) devido às duas cargas ±q:
Aqui é só aplicação do princípio da superposição em uma linha.
Passo 3
Agora vamos usar a expansão binomial
Isso funciona se
. Aí cada soma gera potências de
.
Passo 4
Subtraindo as duas séries, só os termos ímpares sobrevivem (porque para
par o termo anula). Chamando
, cada parcela dá
O primeiro membro (
) é o já conhecido
. O próximo não-zero vem de
:
e levando o
externo e o fator
, dá
Resposta
O próximo termo não-zero
na expansão é