Um elétron tem momento angular intrínseco de módulo raiz3 hbar / 2=9,13 cdot 10^-35 Nm. Vamos supor que o elétron é uma esfera maciça. Qual deve ser o raio mínimo do elétron para que nenhuma parte dele ande mais rápido do que a velocidade da luz no vácuo? Sabe-se experimentalmente que o elétron, se não for uma partícula puntual, deve ter diâmetro menor do que 10^-18 m.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o elétron tem momento angular intrínseco de módulo
L = raiz3,hbar2 = 9,13times10^-35;N,m,s
e, supondo ele como uma esfera maciça girando, a gente quer o raio mínimo r pra que a superfície não ultrapasse a velocidade da luz c.
Conteúdo envolvido:
- Momento de inércia de uma esfera sólida;
- Relação entre momento angular L, velocidade angular omega e velocidade tangencial v;
- Condição v <= c;
- Valores conhecidos: massa do elétron me e c.

Passo 2

Para uma esfera sólida de massa m e raio r, o momento de inércia é
I = 25,m,r^2,
Como L = I,omega, temos
omega = LI = Ltfrac25m,r^2 = 5L2,m,r^2,
A velocidade tangencial na borda é
v = omega,r = 5L2,m,r^2;r = 5L2,m,r,
Para não ultrapassar a luz, v <= c, logo
$$\frac{5L}{2,m,r} \le c
\quad\Longrightarrow\quad
r \ge \frac{5L}{2,m,c},. $$

Passo 3

Agora é só colocar os números:
  • L = 9,13times10^-35;N,m,s
  • me = 9,11times10^-31;kg
  • c = 3,00times10^8;m/s
rmin = 5,(9,13times10^-35)2,(9,11times10^-31),(3,00times10^8);m

Passo 4

Vamos calcular rápido:
Numerador: 5times9,13times10^-35approx4,565times10^-34.
Denominador: 2times9,11times10^-31times3,00times10^8approx5,466times10^-22.
Então
$$r_{\min}\approx\frac{4{,}565\times10{-34}}{5{,}466\times10{-22}}
\approx8{,}35\times10^{-13};\mathrm{m},. $$

Resposta

O raio mínimo do elétron, para não girar acima de c, é aproximadamente
$

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