Um elétron tem momento angular intrínseco de módulo
. Vamos supor que o elétron é uma esfera maciça. Qual deve ser o raio mínimo do elétron para que nenhuma parte dele ande mais rápido do que a velocidade da luz no vácuo? Sabe-se experimentalmente que o elétron, se não for uma partícula puntual, deve ter diâmetro menor do que
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que o elétron tem momento angular intrínseco de módulo
e, supondo ele como uma esfera maciça girando, a gente quer o raio mínimo
Conteúdo envolvido:
- Momento de inércia de uma esfera sólida;
- Relação entre momento angular
- Condição
- Valores conhecidos: massa do elétron
Passo 2
Para uma esfera sólida de massa
e raio
, o momento de inércia é
Como
A velocidade tangencial na borda é
Para não ultrapassar a luz,
$$\frac{5L}{2,m,r} \le c
\quad\Longrightarrow\quad
r \ge \frac{5L}{2,m,c},. $$
Passo 3
Agora é só colocar os números:
Passo 4
Vamos calcular rápido:
Numerador: .
Denominador: .
Então
Numerador:
Denominador:
Então
$$r_{\min}\approx\frac{4{,}565\times10{-34}}{5{,}466\times10{-22}}
\approx8{,}35\times10^{-13};\mathrm{m},. $$
Resposta
O raio mínimo do elétron, para não girar acima de
, é aproximadamente
$