O campo elétrico de uma onda eletromagnética no vácuo é dado por E=Ex i+Ey j com
Ex=-E1 cos [omega t-beta(x+y)], Ey=E2 cos [omega t-beta(x+y)]
Onde E1, E2 beta e omega são constante positivas. O valor máximo atingido pelo módulo do campo
elétrico |E|=raizEx^2+Ey^2=E0.
Use a forma diferencial da lei de Faraday para determinar o campo magnético associado ao campo elétrico dado em termos de E0, omega e da velocidade da luz no vácuo c.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede.
• Enunciado resumido: temos um campo elétrico de uma onda no vácuo
vec E(x,y,t)=Ex,hatimath+Ey,hatjmath com Ex=-E1cos[omega t-beta(x+y)], Ey= ,E2cos[omega t-beta(x+y)]
e sabemos que o módulo máximo é
|vec E|max=E0,
O que querem é achar o campo magnético associado usando a forma diferencial da lei de Faraday
nablatimesvec E ;=;-,partialvec Bpartial t,,
e escrever o resultado em termos de , e .

Passo 2

Primeiro, lembrando como se calcula o rotacional no sistema cartesiano:
nablatimesvec E =l(partialyEz-partialzEyr)hatimath +l(partialzEx-partialxEzr)hatjmath +l(partialxEy-partialyExr)hat k
Aqui (nablatimesvec E)k =partialxEy-partialyEx , então só sobra o componente partialxEy =E2,l(-sinphir),(-beta) =beta,E2sinphi, partialyEx =-E1,l(-sinphir),(-beta) =-beta,E1sinphi :
nablatimesvec E = l[beta E2sinphi ;-;(-beta E1sinphi)r]hat k =beta,(E1+E2),sinphi;hat k
Como
,
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Passo 3

Agora aplicamos a lei de Faraday em forma diferencial:
nablatimesvec E =;-,partialvec Bpartial t ;Longrightarrow; beta,(E1+E2),sinphi;hat k =-,partial Bkpartial t,hat k
Ou seja, tomando apenas o componente partial Bkpartial t =-,beta,(E1+E2),sinphi ,

Passo 4

Integramos em Bk(t) =integral -beta,(E1+E2),sinphi,dt =-beta,(E1+E2),-cosphiomega =beta,(E1+E2)omega,cosphi . Como Bk =omega/c,(E1+E2)omega,cosphi =E1+E2c,cosl(omega t-beta(x+y)r) , temos .
E como , isso vira

Passo 5

Só falta escrever tudo em termos de E0=maxraizEx^2+Ey^2 =raizE1^2+E2^2, . Sabemos que
B0=E1+E2c
mas na direção o campo tem amplitude
Para ondas no vácuo costuma-se usar a relação geral .

Resposta

boxed vec B(x,y,t) =hat k,E0c, cos!l(omega t-tfracomegac(x+y)r)

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