O campo elétrico entre dois cilindros condutores concêntricos com r=0,01 m e r=0,05 m é dado por \mathbf{E}= \left(10^{5} / r\right) \hat{\mathbf{r}}. Calcule a energia acumulada em 0,5 m de comprimento. Suponha o espaço livre.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico entre dois cilindros concêntricos de raios interno a=0{,}01\\ \mathrm{m} e externo b=0{,}05\\ \mathrm{m}, com comprimento L=0{,}5\\ \mathrm{m}, e pede a energia acumulada. O conteúdo necessário é a densidade de energia do campo elétrico no vácuo,
u = \tfrac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2},
e a fórmula da energia total
U = \int_{V} u\,\mathrm{d}V = \tfrac{1}{2}\varepsilon_{0}\int_{V}E^{2}\,\mathrm{d}V.

Passo 2

Escrevemos a integral total em coordenadas cilíndricas r,\theta,z, onde \mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z, para r\in[a,b], \theta\in[0,2\pi] e z\in[0,L]:
U = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon_{0}\int_{0}^{L}\!\int_{0}^{2\pi}\!\int_{a}^{b}E^{2}(r)\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z.

Passo 3

Substituímos E(r)=10^{5}/r, de modo que
E^{2}(r)\,r = \frac{10^{10}}{r^{2}}\;r = \frac{10^{10}}{r}.
Os integrais em \theta e z fornecem o fator 2\pi L, logo
U = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon_{0}\,2\pi L\;10^{10}\int_{a}^{b}\frac{1}{r}\,\mathrm{d}r = \varepsilon_{0}\,\pi L\,10^{10}\int_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}r}{r}.

Passo 4

A integral em r é \int_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}r}{r} = \ln\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr). Portanto
U = \varepsilon_{0}\,\pi\,L\,10^{10}\,\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr).

Passo 5

Agora substituímos numericamente:
\varepsilon_{0} = 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, \quad L = 0{,}5\\ \mathrm{m}, \quad \ln\!\bigl(\tfrac{0{,}05}{0{,}01}\bigr) = \ln(5)\approx1{,}6094.
Logo
U = (8{,}854\times10^{-12})\;\pi\;(0{,}5)\;(10^{10})\;(1{,}6094) \approx 0{,}224\\ \mathrm{J}.

Resposta

A energia acumulada é aproximadamente 0,22\\ \mathrm{J}.

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