A total distribuição de cargas em um volume V, com densidade \rho, dá origem a um campo elétrico capaz de acumular a energia
W_{E}=\frac{1}{2} \int_{V} \rho V d v
Mostre que uma expressão equivalente para a energia armazenada é
W_{E}=\frac{1}{2} \int \varepsilon_{o} E^{2} d v

Passo 1

O enunciado dá a energia armazenada pelo campo elétrico criado por uma densidade de carga \rho em um volume V como
W_{E}=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\,V\,dv
e pede para mostrar a forma equivalente
W_{E}=\frac{1}{2}\int \varepsilon_{0}E^{2}\,dv.
Vamos usar a lei de Gauss no vácuo e uma identidade de cálculo vetorial para transformar a integral em densidade de carga numa integral em E^{2}.

Passo 2

Da lei de Gauss eletrostática temos
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Multiplicando ambos os lados por V e integrando sobre V, obtemos
\int_{V}\rho\,V\,dv =\varepsilon_{0}\int_{V}V\bigl(\nabla\cdot\mathbf{E}\bigr)\,dv.

Passo 3

Aplicamos a identidade vetorial
\nabla\cdot\bigl(V\,\mathbf{E}\bigr) =V\,(\nabla\cdot\mathbf{E})+\mathbf{E}\cdot(\nabla V).
Como o potencial satisfaz \mathbf{E}=-\nabla V, temos \mathbf{E}\cdot(\nabla V)=-E^{2}. Portanto
V\,(\nabla\cdot\mathbf{E}) =\nabla\cdot(V\mathbf{E})+E^{2}.

Passo 4

Substituindo na integral,
\int_{V}V\,(\nabla\cdot\mathbf{E})\,dv =\int_{V}\nabla\cdot(V\mathbf{E})\,dv +\int_{V}E^{2}\,dv.
Pelo teorema da divergência,
\int_{V}\nabla\cdot(V\mathbf{E})\,dv =\oint_{S_{\infty}}V\,\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S},
e essa integral de superfície tende a zero se o campo e o potencial caírem suficientemente rápido no infinito.

Passo 5

Logo resta
\int_{V}V\,(\nabla\cdot\mathbf{E})\,dv =\int_{V}E^{2}\,dv \;\Longrightarrow\; \int_{V}\rho\,V\,dv =\varepsilon_{0}\int_{V}E^{2}\,dv.
Finalmente,
W_{E} =\frac{1}{2}\int_{V}\rho\,V\,dv =\frac{1}{2}\,\varepsilon_{0}\int_{V}E^{2}\,dv.

Resposta

W_{E}=\frac{1}{2}\int \varepsilon_{0}E^{2}\,dv.

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