A total distribuição de cargas em um volume
, com densidade
, dá origem a um campo elétrico capaz de acumular a energia
Mostre que uma expressão equivalente para a energia armazenada é
Passo 1
O enunciado dá a energia armazenada pelo campo elétrico criado por uma densidade de carga
em um volume
como
e pede para mostrar a forma equivalente
Vamos usar a lei de Gauss no vácuo e uma identidade de cálculo vetorial para transformar a integral em densidade de carga numa integral em
.
Passo 2
Da lei de Gauss eletrostática temos
Multiplicando ambos os lados por
e integrando sobre
, obtemos
Passo 3
Aplicamos a identidade vetorial
Como o potencial satisfaz
, temos
. Portanto
Passo 4
Substituindo na integral,
Pelo teorema da divergência,
e essa integral de superfície tende a zero se o campo e o potencial caírem suficientemente rápido no infinito.
Passo 5
Logo resta
Finalmente,