Mostre que o campo elétrico \mathbf{E} externo a uma casca esférica, que possui densidade uniforme de cargas \sigma, é igual ao campo \mathbf{E} total devido à carga localizada no ponto central da casca.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para r>R, o campo elétrico \mathbf{E}(r) fora de uma casca esférica de raio R com densidade superficial de carga uniforme \sigma é idêntico ao campo gerado por uma carga pontual Q colocada no centro da casca. O conteúdo principal aqui é a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo do campo elétrico a cargas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, calculamos a carga total da casca esférica. Como a densidade superficial é \sigma e a área de uma esfera de raio R é 4\pi R^2, temos
Q = \sigma \times 4\pi R^2.

Passo 3

Para r>R, consideramos uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio r. Devido à simetria esférica, o módulo do campo \mathbf{E}(r) é o mesmo em todo ponto da superfície e aponta radialmente. Logo, o fluxo total é
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,\bigl(4\pi r^2\bigr).

Passo 4

Pela Lei de Gauss, o fluxo \Phi é igual à carga interna dividida por \varepsilon_0. Como toda a carga Q da casca está contida na superfície gaussiana,
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}.

Resposta

\mathbf{E}(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}} \quad\text{com}\quad Q = 4\pi R^2\sigma,
isto é, o mesmo campo de uma carga pontual Q no centro.

Exercícios relacionados