Um campo elétrico, no espaço livre, é dado por \mathbf{E}=x \mathbf{a}_{x}+y \mathbf{a}_{y}+z \mathbf{a}_{z} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Determine o trabalho realizado para deslocar uma carga de 1 \mu \mathrm{C} através deste campo de \left(r=10, \theta=\theta_{0}\right) para \left(r=10, \theta=\theta_{0}+180^{\circ}\right)

Passo 1

Dados fornecidos:
\displaystyle \mathbf{E}=x\,\mathbf{a}_x+y\,\mathbf{a}_y+z\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{V/m}.
Carga: \displaystyle q=1\,\mu\mathrm{C}=1\times10^{-6}\,\mathrm{C}.
Pontos inicial e final (em coordenadas polares no plano z=0):
\displaystyle A:\\ (r=10,\\ \theta=\theta_0) e \displaystyle B:\\ (r=10,\\ \theta=\theta_0+180^\circ).
O que se pede: determinar o trabalho realizado ao deslocar a carga de A para B através desse campo elétrico.

Passo 2

Vamos escrever as coordenadas cartesianas dos pontos para visualizar:
\text{Ponto }A:\quad x_A=10\cos\theta_0,\quad y_A=10\sin\theta_0,\quad z_A=0,
\text{Ponto }B:\quad x_B=10\cos(\theta_0+\pi)=-10\cos\theta_0,\quad y_B=10\sin(\theta_0+\pi)=-10\sin\theta_0,\quad z_B=0.
Ou seja, são dois pontos opostos sobre o círculo de raio 10 m no plano z=0.

Passo 3

Fórmula do trabalho realizado pelo campo elétrico ao mover a carga de A para B:
W_{\text{campo}}=q\int_{A}^{B}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Explicação didática: \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} é a projeção do campo sobre o deslocamento infinitesimal; integrar dá o trabalho total por unidade de carga, e multiplicando por q obtemos o trabalho sobre a carga. Se o integrando for zero em todo o caminho, o trabalho será zero.

Passo 4

Observação geométrica do campo sobre o círculo r=10 m: em coordenadas polares/cilíndricas, para um ponto com coordenadas (r,\theta, z=0) vale
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
logo o campo no ponto é
\mathbf{E}=x\,\mathbf{a}_x+y\,\mathbf{a}_y = r\cos\theta\,\mathbf{a}_x + r\sin\theta\,\mathbf{a}_y.
Isto é exatamente o vetor radial r\,\mathbf{a}_r. Portanto, ao longo do círculo de raio r=10 m temos
\mathbf{E}=r\,\mathbf{a}_r = 10\,\mathbf{a}_r\qquad(\text{sobre o caminho}).

Passo 5

Deslocamento ao seguir o arco circular (mantendo r=10, variando \theta de \theta_0 até \theta_0+\pi):
d\mathbf{l}=r\,d\theta\,\mathbf{a}_\theta = 10\,d\theta\,\mathbf{a}_\theta.
Produto escalar no integrando:
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = (10\,\mathbf{a}_r)\cdot(10\,d\theta\,\mathbf{a}_\theta) = 100\,d\theta\;(\mathbf{a}_r\cdot\mathbf{a}_\theta).
Como \mathbf{a}_r e \mathbf{a}_\theta são ortogonais, \mathbf{a}_r\cdot\mathbf{a}_\theta=0. Logo
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0\quad\text{em todo o caminho.}

Passo 6

Integrando para obter o trabalho:
W_{\text{campo}}=q\int_{\theta_0}^{\theta_0+\pi} 0\;d\theta = 0.
Comentário didático: fisicamente, o campo é puramente radial e o deslocamento é puramente tangencial — quando força e deslocamento são perpendiculares, não há trabalho. Como alternativa (checagem), podemos notar que \mathbf{E}=\nabla\!\bigl(\tfrac{1}{2}r^2\bigr) é conservativo, o potencial só depende de r, e como r não muda entre A e B o trabalho também é zero.

Passo 7

Conclusão numérica com unidades: o trabalho realizado pelo campo ao deslocar a carga de A para B vale exatamente zero joules.

Resposta

0\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados