Um campo elétrico, no espaço livre, é dado por
. Determine o trabalho realizado para deslocar uma carga de
através deste campo de
para
Passo 1
Dados fornecidos:
Carga:
Pontos inicial e final (em coordenadas polares no plano ):
e
O que se pede: determinar o trabalho realizado ao deslocar a carga de para
através desse campo elétrico.
Carga:
Pontos inicial e final (em coordenadas polares no plano
O que se pede: determinar o trabalho realizado ao deslocar a carga de
Passo 2
Vamos escrever as coordenadas cartesianas dos pontos para visualizar:
Ou seja, são dois pontos opostos sobre o círculo de raio
m no plano
.
Passo 3
Fórmula do trabalho realizado pelo campo elétrico ao mover a carga de
para
:
Explicação didática:
é a projeção do campo sobre o deslocamento infinitesimal; integrar dá o trabalho total por unidade de carga, e multiplicando por
obtemos o trabalho sobre a carga. Se o integrando for zero em todo o caminho, o trabalho será zero.
Passo 4
Observação geométrica do campo sobre o círculo
m: em coordenadas polares/cilíndricas, para um ponto com coordenadas
vale
logo o campo no ponto é
Isto é exatamente o vetor radial
. Portanto, ao longo do círculo de raio
m temos
Passo 5
Deslocamento ao seguir o arco circular (mantendo
, variando
de
até
):
Produto escalar no integrando:
Como
e
são ortogonais,
. Logo
Passo 6
Integrando para obter o trabalho:
Comentário didático: fisicamente, o campo é puramente radial e o deslocamento é puramente tangencial — quando força e deslocamento são perpendiculares, não há trabalho. Como alternativa (checagem), podemos notar que
é conservativo, o potencial só depende de
, e como
não muda entre
e
o trabalho também é zero.
Passo 7
Conclusão numérica com unidades: o trabalho realizado pelo campo ao deslocar a carga de
para
vale exatamente zero joules.