Em coordenadas esféricas, (\mathbf{E}=2 r /(r^{2}+a^{2})^{2} \mathbf{a}_{r} \mathrm{~V} / \mathrm{m}). Calcule o potencial em qualquer ponto, usando a referência V=0 no infinito

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico em coordenadas esféricas e pede o potencial em qualquer ponto, com referência V=0 no infinito. Informações dadas e objetivo:
\mathbf{E}=\frac{2\,r}{(r^{2}+a^{2})^{2}}\;\mathbf{a}_{r}\quad\text{(unidades: V/m)}
  • Dado: \mathbf{E} é radial (direção \mathbf{a}_r) e depende só de r.\n
  • Pedido: encontrar V(r) tal que V(\infty)=0.

Passo 2

Vamos lembrar a relação entre campo elétrico e potencial e como usá-la de forma prática. Para um campo conservativo (como este, radial e só em função de r), a diferença de potencial entre dois pontos é dada por
V(B)-V(A) = -\int_{A}^{B}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Aqui d\mathbf{l} é o vetor deslocamento ao longo do caminho de integração. Como \mathbf{E} aponta na direção radial e depende só de r, podemos escolher um caminho radial e substituir \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=E_{r}\,dr, onde E_{r} é a componente radial de \mathbf{E} e dr é o incremento da coordenada radial.

Passo 3

Aplicando a fórmula escolhendo A no infinito e B num ponto com coordenada radial r, obtemos
V(r)-V(\infty) = -\int_{\infty}^{r} E_{r}(r')\,dr'.
Como V(\infty)=0 (referência dada) e E_{r}(r')=\dfrac{2\,r'}{(r'^{2}+a^{2})^{2}}, isso vira
V(r) = -\int_{\infty}^{r}\frac{2\,r'}{(r'^{2}+a^{2})^{2}}\,dr'.

Passo 4

Para resolver a integral, fazemos a substituição padrão para expressões do tipo r'^{2}+a^{2}. Defina
u = r'^{2}+a^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2r'\,dr'.
Assim a integral interna fica
\int \frac{2\,r'}{(r'^{2}+a^{2})^{2}}\,dr' = \int \frac{du}{u^{2}}.
A primitiva de u^{-2} é -u^{-1}, então uma antiderivada é -\dfrac{1}{u} = -\dfrac{1}{r'^{2}+a^{2}}.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida com os limites de integração de \infty até r:
\int_{\infty}^{r}\frac{2\,r'}{(r'^{2}+a^{2})^{2}}\,dr' = \left[-\frac{1}{r'^{2}+a^{2}}\right]_{\infty}^{r} = -\frac{1}{r^{2}+a^{2}} - \Big(-\frac{1}{\infty}\Big).
Como \dfrac{1}{\infty}=0, obtemos
\int_{\infty}^{r}\frac{2\,r'}{(r'^{2}+a^{2})^{2}}\,dr' = -\frac{1}{r^{2}+a^{2}}.

Passo 6

Lembrando que V(r) = - (essa integral), temos
V(r) = -\left(-\frac{1}{r^{2}+a^{2}}\right) = \frac{1}{r^{2}+a^{2}}.
Verificação rápida dos comportamentos: quando r\to\infty temos V\to 0 (ok com a referência) e em r=0 obtemos V(0)=\dfrac{1}{a^{2}}.

Resposta

V(r)=\frac{1}{r^{2}+a^{2}}

Exercícios relacionados