Em coordenadas esféricas,
. Calcule o potencial em qualquer ponto, usando a referência V=0 no infinito
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico em coordenadas esféricas e pede o potencial em qualquer ponto, com referência
no infinito. Informações dadas e objetivo:
- Dado:
é radial (direção ) e depende só de .\n - Pedido: encontrar
tal que .
Passo 2
Vamos lembrar a relação entre campo elétrico e potencial e como usá-la de forma prática. Para um campo conservativo (como este, radial e só em função de
), a diferença de potencial entre dois pontos é dada por
Aqui
é o vetor deslocamento ao longo do caminho de integração. Como
aponta na direção radial e depende só de
, podemos escolher um caminho radial e substituir
, onde
é a componente radial de
e
é o incremento da coordenada radial.
Passo 3
Aplicando a fórmula escolhendo
no infinito e
num ponto com coordenada radial
, obtemos
Como
(referência dada) e
, isso vira
Passo 4
Para resolver a integral, fazemos a substituição padrão para expressões do tipo
. Defina
Assim a integral interna fica
A primitiva de
é
, então uma antiderivada é
.
Passo 5
Agora avaliamos a integral definida com os limites de integração de
até
:
Como
, obtemos
Passo 6
Lembrando que
(essa integral), temos
Verificação rápida dos comportamentos: quando
temos
(ok com a referência) e em
obtemos
.