Um campo elétrico, no espaço livre, é dado por \mathbf{E}=x \mathbf{a}_{x}+y \mathbf{a}_{y}+z \mathbf{a}_{z} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Determine o trabalho realizado para deslocar uma carga de 1 \mu \mathrm{C} através deste campo de (1,1,1) para (0,0,0)
uma carga q=1\,\mu\mathrm{C}=1\times 10^{-6}\,\mathrm{C}, ponto inicial (1,1,1) e ponto final (0,0,0).
O que o enunciado pede:
Determinar o trabalho realizado para deslocar a carga q do ponto (1,1,1) até (0,0,0) através do campo \mathbf{E}.
Passo 2
Conceito básico e fórmula que vamos usar: a força elétrica sobre a carga é \mathbf{F}=q\mathbf{E}. O trabalho realizado pela força elétrica ao deslocar a partícula ao longo de uma trajetória \mathcal{C} de \mathbf{r}_1 a \mathbf{r}_2 é a integral de linha
Aqui cada símbolo significa: W = trabalho (em J), q = carga (C), \mathbf{E} = campo elétrico (V/m), d\mathbf{l} = vetor deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória (m).
Passo 3
Verificamos se \mathbf{E} é um campo conservativo (o que torna a integral independente do caminho). Calculamos o rotor (curl):
\nabla\times\mathbf{E}= \begin{vmatrix} \mathbf{a}_x & \mathbf{a}_y & \mathbf{a}_z\\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\\ x & y & z \end{vmatrix}.
Verificação rápida por integral direta (trajectória reta) para confirmar: parametrize \mathbf{r}(t)=(1-t,1-t,1-t), t\in[0,1]. Então d\mathbf{l}=(-1,-1,-1)\,dt e \mathbf{E}(\mathbf{r}(t))=(1-t,1-t,1-t). Portanto
o que dá o mesmo resultado W=-1{,}5\times 10^{-6}\,\mathrm{J}. Boa checagem!
Passo 8
Interpretação do sinal: W<0 significa que o campo elétrico realiza trabalho negativo ao deslocar a carga de (1,1,1) para a origem — em outras palavras, um agente externo precisaria fornecer +1{,}5\times 10^{-6}\,\mathrm{J} para mover a carga contra a tendência do campo, se quisermos fazer o deslocamento lentamente (quaseestático).