Um campo elétrico, no espaço livre, é dado por \mathbf{E}=x \mathbf{a}_{x}+y \mathbf{a}_{y}+z \mathbf{a}_{z} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Determine o trabalho realizado para deslocar uma carga de 1 \mu \mathrm{C} através deste campo de (1,1,1) para (0,0,0)

Passo 1

Dados fornecidos:
\mathbf{E}=x\,\mathbf{a}_x+y\,\mathbf{a}_y+z\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{V/m},
uma carga q=1\,\mu\mathrm{C}=1\times 10^{-6}\,\mathrm{C}, ponto inicial (1,1,1) e ponto final (0,0,0).
O que o enunciado pede:
  • Determinar o trabalho realizado para deslocar a carga q do ponto (1,1,1) até (0,0,0) através do campo \mathbf{E}.

Passo 2

Conceito básico e fórmula que vamos usar: a força elétrica sobre a carga é \mathbf{F}=q\mathbf{E}. O trabalho realizado pela força elétrica ao deslocar a partícula ao longo de uma trajetória \mathcal{C} de \mathbf{r}_1 a \mathbf{r}_2 é a integral de linha
W=\int_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}=q\int_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Aqui cada símbolo significa: W = trabalho (em J), q = carga (C), \mathbf{E} = campo elétrico (V/m), d\mathbf{l} = vetor deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória (m).

Passo 3

Verificamos se \mathbf{E} é um campo conservativo (o que torna a integral independente do caminho). Calculamos o rotor (curl):
\nabla\times\mathbf{E}= \begin{vmatrix} \mathbf{a}_x & \mathbf{a}_y & \mathbf{a}_z\\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\\ x & y & z \end{vmatrix}.
Calculando as componentes:
(\nabla\times\mathbf{E})_x=\frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial y}{\partial z}=0-0=0,
(\nabla\times\mathbf{E})_y=\frac{\partial x}{\partial z}-\frac{\partial z}{\partial x}=0-0=0,
(\nabla\times\mathbf{E})_z=\frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial y}=0-0=0.
Logo \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}, ou seja, \mathbf{E} é conservativo e a integral é independente do caminho.

Passo 4

Por ser conservativo, existe um potencial escalar \varphi(\mathbf{r}) tal que
\mathbf{E}=-\nabla\varphi.
Isso significa que para cada componente:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=-x,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=-y,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=-z.

Passo 5

Encontramos \varphi integrando parcialmente. Integrando \partial\varphi/\partial x=-x em relação a x:
\varphi(x,y,z)=-\frac{1}{2}x^2+f(y,z),
onde f(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y,z. Agora derivamos essa expressão em relação a y e igualamos a -y:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Big(-\frac{1}{2}x^2+f(y,z)\Big)=\frac{\partial f}{\partial y}=-y.
Integrando \partial f/\partial y=-y em y obtemos f(y,z)=-\tfrac{1}{2}y^2+g(z). Repetindo para z:
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\Big(-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2+g(z)\Big)=g'(z)=-z,
logo g(z)=-\tfrac{1}{2}z^2+C, com C constante. Portanto
\varphi(x,y,z)=-\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)+C.
Podemos escolher C=0 (referência de potencial arbitrária).

Passo 6

Como \mathbf{E}=-\nabla\varphi, o resultado para a integral é
\int_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=\varphi(\mathbf{r}_1)-\varphi(\mathbf{r}_2).
Tomando \mathbf{r}_1=(1,1,1) e \mathbf{r}_2=(0,0,0), e usando \varphi(x,y,z)=-\tfrac{1}{2}(x^2+y^2+z^2), temos
\varphi(\mathbf{r}_1)=-\frac{1}{2}(1^2+1^2+1^2)=-\frac{3}{2}, \qquad \varphi(\mathbf{r}_2)=-\frac{1}{2}(0)=0.
Então
\int_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=\varphi(\mathbf{r}_1)-\varphi(\mathbf{r}_2)=-\frac{3}{2}.
Multiplicando por q,
W=q\int_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=q\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{2}q.
Substituindo q=1\times 10^{-6}\,\mathrm{C},
W=-\frac{3}{2}\times 1\times 10^{-6}\,\mathrm{J}=-1{,}5\times 10^{-6}\,\mathrm{J}.

Passo 7

Verificação rápida por integral direta (trajectória reta) para confirmar: parametrize \mathbf{r}(t)=(1-t,1-t,1-t), t\in[0,1]. Então d\mathbf{l}=(-1,-1,-1)\,dt e \mathbf{E}(\mathbf{r}(t))=(1-t,1-t,1-t). Portanto
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-(1-t)-(1-t)-(1-t)=-3(1-t),
\int_0^1\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=\int_0^1 -3(1-t)\,dt=-\frac{3}{2},
o que dá o mesmo resultado W=-1{,}5\times 10^{-6}\,\mathrm{J}. Boa checagem!

Passo 8

Interpretação do sinal: W<0 significa que o campo elétrico realiza trabalho negativo ao deslocar a carga de (1,1,1) para a origem — em outras palavras, um agente externo precisaria fornecer +1{,}5\times 10^{-6}\,\mathrm{J} para mover a carga contra a tendência do campo, se quisermos fazer o deslocamento lentamente (quaseestático).

Resposta

-1{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{J}

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