Um campo elétrico \mathbf{E}=E_{0} \cos \omega t \mathbf{i} é aplicado em um dielétrico possuindo \varepsilon_{r}=25. Se E_{0}=100 \mathrm{~V} / \mathrm{m} e \omega=10^{9} \mathrm{rad} / \mathrm{s}, calcule o valor de pico da densidade de corrente de deslocamento que se estabelece no dielétrico.

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico uniforme dependente do tempo e pede o valor de pico da densidade de corrente de deslocamento no dielétrico. Dados fornecidos:
  • Campo elétrico: \mathbf{E}(t)=E_{0}\cos\omega t\,\mathbf{i}.
  • Permitividad relativa do dielétrico: \varepsilon_{r}=25.
  • Amplitude do campo: E_{0}=100\\ \mathrm{V/m}.
  • Frequência angular: \omega=10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
O que se pede: o valor de pico (ou amplitude) da densidade de corrente de deslocamento \mathbf{J}_d(t) que se estabelece no dielétrico.

Passo 2

Qual relação física usar? A densidade de corrente de deslocamento é definida por Maxwell como a derivada temporal do vetor deslocamento elétrico \mathbf{D}:
\mathbf{J}_d(t)=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.
Para um meio dielétrico linear, isotrópico e homogêneo vale a relação
\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}=\varepsilon_0\varepsilon_r \mathbf{E},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m});
  • \varepsilon_r é a permittividade relativa (dada);
  • \mathbf{E} é o campo elétrico.
Vou então calcular \mathbf{J}_d(t) usando essas fórmulas.

Passo 3

Escrever \mathbf{D}(t) e derivar:
\mathbf{D}(t)=\varepsilon_0\varepsilon_r E_{0}\cos\omega t\,\mathbf{i}.
Derivando em relação ao tempo:
\mathbf{J}_d(t)=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} =\varepsilon_0\varepsilon_r E_{0}\frac{d}{dt}(\cos\omega t)\,\mathbf{i} =-\varepsilon_0\varepsilon_r E_{0}\omega \sin\omega t\,\mathbf{i}.

Passo 4

A amplitude (valor de pico) da densidade de corrente de deslocamento é o coeficiente multiplicador da função seno, ou seja:
J_{d,\text{pico}}=\varepsilon_0\varepsilon_r E_{0}\omega.
Aqui J_{d,\text{pico}} é o valor máximo absoluto de \mathbf{J}_d(t) em módulo (unidade \mathrm{A/m^2}).

Passo 5

Agora substituo os números e calculo passo a passo:
\varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
\varepsilon_r=25,\qquad E_{0}=100\\ \mathrm{V/m},\qquad \omega=10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
Produto:
J_{d,\text{pico}}=(8{,}854187817\times10^{-12})(25)(100)(10^{9})\\ \mathrm{A/m^2}.
Calculemos em etapas:
8{,}854187817\times10^{-12}\times25=2{,}21354695425\times10^{-10},
2{,}21354695425\times10^{-10}\times100=2{,}21354695425\times10^{-8},
2{,}21354695425\times10^{-8}\times10^{9}=22{,}1354695425\\ \mathrm{A/m^2}.

Passo 6

Arredondando para uma apresentação prática (duas casas decimais) e lembrando de usar vírgula decimal:
J_{d,\text{pico}}\approx22{,}14\\ \mathrm{A/m^2}.
Interpretando: esse é o pico da corrente de deslocamento — em certa fase do ciclo senoidal a densidade de corrente alternada atinge esse valor em módulo no dielétrico.

Resposta

22{,}14\\ \mathrm{A/m^2}

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