Um isolante dielétrico possuindo baixa condutividade é colocado entre as duas placas de um capacitor de placas planas conectado a uma fonte
. Suas características são:
e
. A fonte de voltagem é dada por
. Calcule a freqüência para a qual a densidade de corrente de deslocamento é igual à densidade de corrente de condução.
Passo 1
O enunciado pede a frequência para a qual a densidade de corrente de deslocamento é igual à densidade de corrente de condução, para um dielétrico com as características:
- condutividade
(isto é, siemens por metro); - permissividade
, onde é a permissividade do vácuo; - a fonte aplicada é
(tensão senoidal de amplitude e pulsação ).
O que se pede: encontrar a frequência
(ou a pulsação
) tal que a densidade de corrente de deslocamento tenha a mesma magnitude que a densidade de corrente de condução.
Passo 2
Definir as densidades de corrente e as variáveis usadas, com explicação didática.
-
Campo elétrico entre as placas: seja
o campo elétrico local; para placas paralelas é proporcional à tensão . Aqui não precisamos do espaçamento das placas porque as densidades de corrente que vamos comparar são proporcionais a e o fator espacial se cancela ao comparar amplitudes. -
Densidade de corrente de condução: é a corrente causada pelo movimento de cargas livres no material (lei de Ohm local). A expressão é
onde
é a condutividade e
é o campo elétrico instantâneo. Explicando:
diz quanto corrente surge por unidade de campo.
- Densidade de corrente de deslocamento (conceito de Maxwell): é a corrente associada à variação temporal do campo elétrico no dielétrico. A expressão local é
onde
é a permissividade do material. Explicando: quando
muda no tempo, cria-se uma corrente efetiva
.
Passo 3
Considerar o regime senoidal e passar para amplitudes (forma prática para a prova).
Se
, então:
-
. A amplitude (valor máximo) é . - Para deslocamento,
logo a amplitude de
é
(porque o fator
tem amplitude
e o sinal não importa para comparação de magnitudes).
Explicando a escolha: em sinais senoidais costuma-se igualar as amplitudes (ou os módulos dos fasores). Em fasores,
(real) e
(imag.), e a igualdade de magnitudes leva ao mesmo resultado a seguir.
Passo 4
Igualar as amplitudes para obter a condição desejada.
Igualando amplitudes:
Como
, simplifica-se:
Isso é a pulsação para a qual as magnitudes das duas densidades de corrente coincidem.
Passo 5
Passar de
para frequência
e substituir
.
Relação entre pulsação e frequência:
Substituindo
obtemos
Agora colocar valores numéricos. Usar
e
:
Então
e
Passo 6
Interpretação rápida e resultado arredondado para uso em prova.
- Em termos práticos, isso significa que para frequências da ordem de
a corrente de deslocamento (associada à variação do campo) passa a ter a mesma importância que a corrente de condução (associada à condutividade residual do dielétrico). - Valor arredondado conveniente:
.