Um isolante dielétrico possuindo baixa condutividade é colocado entre as duas placas de um capacitor de placas planas conectado a uma fonte A C. Suas características são: \sigma=4 \mathrm{~S} / \mathrm{m} e \varepsilon=9 \varepsilon_{0}. A fonte de voltagem é dada por V=1 \cos \omega t. Calcule a freqüência para a qual a densidade de corrente de deslocamento é igual à densidade de corrente de condução.

Passo 1

O enunciado pede a frequência para a qual a densidade de corrente de deslocamento é igual à densidade de corrente de condução, para um dielétrico com as características:
  • condutividade \sigma = 4\\ \mathrm{S/m} (isto é, 4 siemens por metro);
  • permissividade \varepsilon = 9\varepsilon_0, onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo;
  • a fonte aplicada é V(t)=1\cos\omega t (tensão senoidal de amplitude 1 e pulsação \omega).
O que se pede: encontrar a frequência f (ou a pulsação \omega) tal que a densidade de corrente de deslocamento tenha a mesma magnitude que a densidade de corrente de condução.

Passo 2

Definir as densidades de corrente e as variáveis usadas, com explicação didática.
  • Campo elétrico entre as placas: seja E(t) o campo elétrico local; para placas paralelas E(t) é proporcional à tensão V(t). Aqui não precisamos do espaçamento das placas porque as densidades de corrente que vamos comparar são proporcionais a E(t) e o fator espacial se cancela ao comparar amplitudes.
  • Densidade de corrente de condução: é a corrente causada pelo movimento de cargas livres no material (lei de Ohm local). A expressão é
J_{\mathrm{cond}}(t)=\sigma E(t),
onde \sigma é a condutividade e E(t) é o campo elétrico instantâneo. Explicando: \sigma diz quanto corrente surge por unidade de campo.
  • Densidade de corrente de deslocamento (conceito de Maxwell): é a corrente associada à variação temporal do campo elétrico no dielétrico. A expressão local é
J_{\mathrm{disp}}(t)=\varepsilon\,\frac{\partial E(t)}{\partial t},
onde \varepsilon é a permissividade do material. Explicando: quando E muda no tempo, cria-se uma corrente efetiva \varepsilon\,\partial E/\partial t.

Passo 3

Considerar o regime senoidal e passar para amplitudes (forma prática para a prova).
Se E(t)=E_0\cos\omega t, então:
  • J_{\mathrm{cond}}(t)=\sigma E_0\cos\omega t. A amplitude (valor máximo) é \sigma E_0.
  • Para deslocamento,
\frac{\partial E}{\partial t} = -\omega E_0\sin\omega t,
logo a amplitude de J_{\mathrm{disp}}(t) é \omega\varepsilon E_0 (porque o fator \sin tem amplitude 1 e o sinal não importa para comparação de magnitudes).
Explicando a escolha: em sinais senoidais costuma-se igualar as amplitudes (ou os módulos dos fasores). Em fasores, J_{\mathrm{cond}}=\sigma E (real) e J_{\mathrm{disp}}=j\omega\varepsilon E (imag.), e a igualdade de magnitudes leva ao mesmo resultado a seguir.

Passo 4

Igualar as amplitudes para obter a condição desejada.
Igualando amplitudes:
\omega\varepsilon E_0 = \sigma E_0.
Como E_0\neq0, simplifica-se:
\omega = \frac{\sigma}{\varepsilon}.
Isso é a pulsação para a qual as magnitudes das duas densidades de corrente coincidem.

Passo 5

Passar de \omega para frequência f e substituir \varepsilon = 9\varepsilon_0.
Relação entre pulsação e frequência:
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega=\dfrac{\sigma}{\varepsilon} obtemos
f=\frac{\sigma}{2\pi\varepsilon}.
Agora colocar valores numéricos. Usar \varepsilon_0=8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e \varepsilon=9\varepsilon_0:
\varepsilon = 9\varepsilon_0 = 9\cdot 8,854\times10^{-12} = 7,9686\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Então
\omega=\frac{4}{7,9686\times10^{-11}}\approx 5,018\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s},
e
f=\frac{\omega}{2\pi}\approx\frac{5,018\times10^{10}}{2\pi}\approx 7,985\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Interpretação rápida e resultado arredondado para uso em prova.
  • Em termos práticos, isso significa que para frequências da ordem de 8\\ \mathrm{GHz} a corrente de deslocamento (associada à variação do campo) passa a ter a mesma importância que a corrente de condução (associada à condutividade residual do dielétrico).
  • Valor arredondado conveniente: f\approx 8,0\\ \mathrm{GHz}.

Resposta

f\approx 7,985\times10^{9}\\ \mathrm{Hz} (aproximadamente 8,0\\ \mathrm{GHz})

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