João, ao tentar consertar o módulo eletrônico de um carrinho de brinquedos, levantou as características de um pequeno circuito digital incluso no módulo. Verificou que o circuito tinha dois bits de entrada, \mathrm{x} 0 \mathrm{e} \mathrm{x} 1, \mathrm{e} um bit de saída. Os bits x 0 e e 1 eram utilizados para representar valores de inteiros de 0 a 3 ( x 0, o bit menos significativo e x1, o bit mais significativo). Após testes, João verificou que a saída do circuito é 0 para todos os valores de entrada, exceto para o valor 2.
Qual das expressões a seguir representa adequadamente o circuito analisado por João?
A) x 0 . x 1^{\prime}
B) x 0^{\prime}+x 1^{\prime}
C) x 0^{\prime} . x 1^{\prime}
D) x 0 . x 1

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O circuito tem dois bits de entrada: x_0 e x_1.
  • Foi dito que x_0 é o bit menos significativo e x_1 é o bit mais significativo.
  • Os dois bits representam inteiros de 0 a 3 usando a codificação binária usual (bit mais significativo à esquerda).
  • João verificou que a saída vale 0 para todos os valores de entrada, exceto para o valor 2 (ou seja, a saída vale 1 somente quando a entrada representa o número 2).
  • O enunciado pede escolher, entre as alternativas dadas, a expressão booleana que corresponde ao circuito.

Passo 2

Mapear explicitamente os pares de bits para o número decimal correspondente (pegando a convenção informada: x_1 é MSB, x_0 é LSB).
  • Para o número 0: (x_1,x_0) = (0,0).
  • Para o número 1: (x_1,x_0) = (0,1).
  • Para o número 2: (x_1,x_0) = (1,0).
  • Para o número 3: (x_1,x_0) = (1,1).
Essa tabela é importante para relacionar cada par de entradas ao valor decimal correspondente.

Passo 3

Descrever a saída desejada como vetor de verdade (saída =1 só em 2):
  • Saída em (x_1,x_0)=(0,0) deve ser 0.
  • Saída em (x_1,x_0)=(0,1) deve ser 0.
  • Saída em (x_1,x_0)=(1,0) deve ser 1.
  • Saída em (x_1,x_0)=(1,1) deve ser 0.
Em notação de minterms, isso significa que apenas o minterm correspondente ao decimal 2 está ativo.

Passo 4

Explicar o conceito de minterm e escrever a expressão que ativa exatamente o caso 2.
  • Um minterm é uma conjunção (AND) que fixa cada variável em 0 ou 1. Para duas variáveis, os minterms são:
    • m_0 = x_1' \cdot x_0' para (0,0),
    • m_1 = x_1' \cdot x_0 para (0,1),
    • m_2 = x_1 \cdot x_0' para (1,0),
    • m_3 = x_1 \cdot x_0 para (1,1).
  • Queremos a saída igual a 1 somente para o caso (1,0), ou seja, o único minterm presente é m_2.
  • Portanto, a expressão booleana correta que representa exatamente a condição "entrada = 2" é
x_1 \cdot x_0'.
Aqui x_1 significa que o bit mais significativo vale 1 e x_0' significa que o bit menos significativo vale 0. O símbolo \cdot é o AND lógico.

Passo 5

Comparar a expressão correta com cada alternativa fornecida, construindo as saídas:
Primeiro, a saída desejada (recapitulando) é 1 só em (x_1,x_0)=(1,0).
Agora verificar cada alternativa A–D avaliando todos os pares (x_1,x_0).
  • Alternativa A: \,x_0 \cdot x_1'\,.
    • Avaliando nos quatro pares:
      • (0,0): x_0\cdot x_1' = 0\cdot1 = 0.
      • (0,1): x_0\cdot x_1' = 1\cdot1 = 1.
      • (1,0): x_0\cdot x_1' = 0\cdot0 = 0.
      • (1,1): x_0\cdot x_1' = 1\cdot0 = 0.
    • Resultado: essa expressão é 1 somente em (0,1) (decimal 1). Não coincide com o caso desejado.
  • Alternativa B: \,x_0' + x_1'\,.
    • Usando De Morgan, \,x_0' + x_1' = (x_0 \cdot x_1)', mas vamos avaliar diretamente:
      • (0,0): 1 + 1 = 1.
      • (0,1): 0 + 1 = 1.
      • (1,0): 1 + 0 = 1.
      • (1,1): 0 + 0 = 0.
    • Resultado: é 1 para 0,1,2 e 0 para 3. Não coincide (ativa extra nos casos 0 e 1).
  • Alternativa C: \,x_0' \cdot x_1'\,.
    • Avaliando:
      • (0,0): 1\cdot1 = 1.
      • (0,1): 0\cdot1 = 0.
      • (1,0): 1\cdot0 = 0.
      • (1,1): 0\cdot0 = 0.
    • Resultado: é 1 somente em (0,0) (decimal 0). Não coincide.
  • Alternativa D: \,x_0 \cdot x_1\,.
    • Avaliando:
      • (0,0): 0\cdot0 = 0.
      • (0,1): 1\cdot0 = 0.
      • (1,0): 0\cdot1 = 0.
      • (1,1): 1\cdot1 = 1.
    • Resultado: é 1 somente em (1,1) (decimal 3). Não coincide.
Conclusão desta comparação: nenhuma das alternativas A, B, C ou D produz 1 somente para o valor decimal 2.

Passo 6

Observação sobre possível confusão de notação (importante para provas e para não cair em pegadinhas):
  • Se alguém trocasse a interpretação dos índices e considerasse que x_0 é o bit mais significativo (MSB) e x_1 é o menos significativo (LSB), então o número 2 corresponderia ao par (x_1,x_0)=(0,1) — nesse caso a expressão que liga só para esse par seria x_0 \cdot x_1', que é a alternativa A. Ou seja, A seria correta somente se a ordem dos bits estivesse invertida em relação ao que o enunciado explicita.
  • Mas como o enunciado informou explicitamente que x_0 é o menos significativo e x_1 o mais significativo, a expressão correta é \,x_1 \cdot x_0'\,, que não aparece entre as alternativas.
Dica prática para prova: ao pedir "ativar só o valor k" com codificação binária, escreva o minterm correspondente às atribuições de bits daquele k (bit =1 aparece sem apóstrofo; bit =0 aparece com apóstrofo) — isso evita confusões.

Passo 7

Resposta final clara e direta: a expressão que representa o circuito descrito por João (saída = 1 somente para o valor 2 com a convenção dada) é
x_1 \cdot x_0'.
Como essa expressão não está entre as alternativas A–D (e analisamos cada uma), nenhuma das alternativas apresentadas é correta sob a leitura dada no enunciado.

Resposta

Nenhuma das alternativas — a expressão correta é x_1 \cdot x_0'.

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