O campo elétrico \mathrm{e}^{*}(t) de uma onda plana uniforme que se propaga em um meio dielétrico é dado por \overrightarrow{\mathrm{e}}(t)=2 \cos 10^{8} t-z / \sqrt{ } 3 \overrightarrow{\mathrm{a}_{x}}+\sin 10^{8} t-\bar{z} / \sqrt{ } 3 \overrightarrow{\mathrm{a}_{y}} \mathrm{~V} / \mathrm{m} . \quad-
(a) Determine a frequência e o comprimento de onda da onda.
(b) Qual é a constante dielétrica do meio?
(c) Descreva a polarização da onda.
(d) Encontre o campo magnético \mathrm{h}(t) correspondente.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico de uma onda plana que depende de t e de z. Vou interpretar o enunciado como tendo os dois componentes com a mesma fase espacial e temporal. Ou seja, extraio do enunciado o seguinte campo (assunção explícita):
(a) Determinar a frequência e o comprimento de onda.
(b) Determinar a constante dielétrica do meio.
(c) Descrever a polarização da onda.
(d) Encontrar o campo magnético \overrightarrow{h}(t) correspondente.
Passo 2
Identificar as quantidades básicas na forma da onda e calcular frequência e comprimento de onda.
O argumento das funções trigonométricas é \varphi=\omega t-kz com \omega=10^{8} (rad/s) e k=\tfrac{1}{\sqrt{3}} (rad/m) porque o termo em z é \tfrac{z}{\sqrt{3}} com sinal negativo.
A frequência (em Hz) é dada por
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{10^{8}}{2\pi}.
Faço a conta: \dfrac{10^{8}}{2\pi}\approx 1{,}5915\times 10^{7} Hz, isto é aproximadamente 15{,}915 MHz.
O comprimento de onda \lambda é dado por \lambda=\dfrac{2\pi}{k}. Como k=\tfrac{1}{\sqrt{3}},
\lambda=\frac{2\pi}{1/\sqrt{3}}=2\pi\sqrt{3}.
Faço a conta: 2\pi\sqrt{3}\approx 10{,}8828 m (aprox. 10{,}88 m).
Passo 3
Determinar a constante dielétrica do meio (permissividade relativa \varepsilon_r) a partir da relação entre \omega, k e a velocidade de fase da onda.
Portanto a constante dielétrica do meio é \varepsilon_r=3.
Passo 4
Descrever a polarização da onda de forma didática.
Escrevo os componentes transversos explicitamente em função da fase \varphi=\omega t-kz:
E_x(t)=2\cos\varphi,\qquad E_y(t)=\sin\varphi.
Para ver a forma da trajetória do vetor (E_x,E_y) no plano transverse, uso a identidade \cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1. Substituo \cos\varphi=E_x/2 e \sin\varphi=E_y para eliminar \varphi:
\left(\frac{E_x}{2}\right)^2+(E_y)^2=1.
Isso é a equação de uma elipse com semi-eixo maior a=2 (na direção x) e semi-eixo menor b=1 (na direção y). Conclusão: a polarização é elíptica.
Sentido de rotação (como verificar na prova, passo a passo): fixo z e aumentamos t pequeno a partir de t=0 com \varphi pequeno. Em t=0 temos (E_x,E_y)=(2,0). Para \varphi>0 pequeno, \cos\varphi diminui um pouco e \sin\varphi>0, então o vetor vai de +x para +y. Ou seja, gira no sentido anti-horário quando observado na direção positiva de z (ou seja, ao olhar “no sentido da propagação”, o vetor E descreve rotação anti-horária). Portanto: polarização elíptica com eixo maior ao longo de x, eixo menor ao longo de y, e rotação anti-horária ao progredir o tempo para um z fixo.
Passo 5
Encontrar o campo magnético \overrightarrow{h}(t).
Para uma onda plana em um meio não magnético, o campo magnético na forma de intensidade de campo \overrightarrow{h} (A/m) relaciona-se com \overrightarrow{e} por
(a) \,f=\dfrac{10^{8}}{2\pi}\approx 1{,}5915\times 10^{7}\\ \text{Hz}\quad;\quad \lambda=2\pi\sqrt{3}\approx 10{,}883\\ \text{m}.\n
(b) \,\varepsilon_r=3.\n
(c) Polarização elíptica; equação da elipse \left(\dfrac{E_x}{2}\right)^2+E_y^2=1 (eixo maior ao longo de x, eixo menor ao longo de y); rotação anti-horária com o tempo para z fixo (observando na direção +z).\n
(d) \displaystyle \overrightarrow{h}(t)=-\frac{1}{\eta}\sin\!\bigl(10^{8}t-\tfrac{z}{\sqrt{3}}\bigr)\,\hat{a}_x+\frac{2}{\eta}\cos\!\bigl(10^{8}t-\tfrac{z}{\sqrt{3}}\bigr)\,\hat{a}_y, com \displaystyle \eta=\frac{120\pi}{\sqrt{3}} (aprox. \eta\approx 217{,}09\\ \Omega).