O campo elétrico \mathrm{e}^{*}(t) de uma onda plana uniforme que se propaga em um meio dielétrico é dado por \overrightarrow{\mathrm{e}}(t)=2 \cos 10^{8} t-z / \sqrt{ } 3 \overrightarrow{\mathrm{a}_{x}}+\sin 10^{8} t-\bar{z} / \sqrt{ } 3 \overrightarrow{\mathrm{a}_{y}} \mathrm{~V} / \mathrm{m} . \quad-
(a) Determine a frequência e o comprimento de onda da onda.
(b) Qual é a constante dielétrica do meio?
(c) Descreva a polarização da onda.
(d) Encontre o campo magnético \mathrm{h}(t) correspondente.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de uma onda plana que depende de t e de z. Vou interpretar o enunciado como tendo os dois componentes com a mesma fase espacial e temporal. Ou seja, extraio do enunciado o seguinte campo (assunção explícita):
\overrightarrow{e}(t)=2\cos\!\bigl(10^{8}t-\tfrac{z}{\sqrt{3}}\bigr)\,\overrightarrow{a_x}+\sin\!\bigl(10^{8}t-\tfrac{z}{\sqrt{3}}\bigr)\,\overrightarrow{a_y}\quad\text{(V/m).}
Lista do que o problema pede:
  1. (a) Determinar a frequência e o comprimento de onda.
  2. (b) Determinar a constante dielétrica do meio.
  3. (c) Descrever a polarização da onda.
  4. (d) Encontrar o campo magnético \overrightarrow{h}(t) correspondente.

Passo 2

Identificar as quantidades básicas na forma da onda e calcular frequência e comprimento de onda.
  • O argumento das funções trigonométricas é \varphi=\omega t-kz com \omega=10^{8} (rad/s) e k=\tfrac{1}{\sqrt{3}} (rad/m) porque o termo em z é \tfrac{z}{\sqrt{3}} com sinal negativo.
  • A frequência (em Hz) é dada por
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{10^{8}}{2\pi}.
Faço a conta: \dfrac{10^{8}}{2\pi}\approx 1{,}5915\times 10^{7} Hz, isto é aproximadamente 15{,}915 MHz.
  • O comprimento de onda \lambda é dado por \lambda=\dfrac{2\pi}{k}. Como k=\tfrac{1}{\sqrt{3}},
\lambda=\frac{2\pi}{1/\sqrt{3}}=2\pi\sqrt{3}.
Faço a conta: 2\pi\sqrt{3}\approx 10{,}8828 m (aprox. 10{,}88 m).

Passo 3

Determinar a constante dielétrica do meio (permissividade relativa \varepsilon_r) a partir da relação entre \omega, k e a velocidade de fase da onda.
  • A velocidade de fase v da onda é
v=\frac{\omega}{k}=\frac{10^{8}}{1/\sqrt{3}}=10^{8}\sqrt{3}\\ \text{m/s}.
  • Em um meio não magnético ( \mu=\mu_0), a velocidade de uma onda eletromagnética satisfaz
v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon}}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}},
onde c é a velocidade da luz no vácuo e \varepsilon_r é a permissividade relativa (constante dielétrica). Assim
\varepsilon_r=\biggl(\frac{c}{v}\biggr)^2.
  • Substituindo v=10^{8}\sqrt{3} e c\approx 3\times 10^{8} m/s,
\varepsilon_r=\left(\frac{3\times 10^{8}}{10^{8}\sqrt{3}}\right)^2=\left(\frac{3}{\sqrt{3}}\right)^2=3.
Portanto a constante dielétrica do meio é \varepsilon_r=3.

Passo 4

Descrever a polarização da onda de forma didática.
  • Escrevo os componentes transversos explicitamente em função da fase \varphi=\omega t-kz:
E_x(t)=2\cos\varphi,\qquad E_y(t)=\sin\varphi.
  • Para ver a forma da trajetória do vetor (E_x,E_y) no plano transverse, uso a identidade \cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1. Substituo \cos\varphi=E_x/2 e \sin\varphi=E_y para eliminar \varphi:
\left(\frac{E_x}{2}\right)^2+(E_y)^2=1.
Isso é a equação de uma elipse com semi-eixo maior a=2 (na direção x) e semi-eixo menor b=1 (na direção y). Conclusão: a polarização é elíptica.
  • Sentido de rotação (como verificar na prova, passo a passo): fixo z e aumentamos t pequeno a partir de t=0 com \varphi pequeno. Em t=0 temos (E_x,E_y)=(2,0). Para \varphi>0 pequeno, \cos\varphi diminui um pouco e \sin\varphi>0, então o vetor vai de +x para +y. Ou seja, gira no sentido anti-horário quando observado na direção positiva de z (ou seja, ao olhar “no sentido da propagação”, o vetor E descreve rotação anti-horária). Portanto: polarização elíptica com eixo maior ao longo de x, eixo menor ao longo de y, e rotação anti-horária ao progredir o tempo para um z fixo.

Passo 5

Encontrar o campo magnético \overrightarrow{h}(t).
  • Para uma onda plana em um meio não magnético, o campo magnético na forma de intensidade de campo \overrightarrow{h} (A/m) relaciona-se com \overrightarrow{e} por
\overrightarrow{h}=\frac{1}{\eta}\,\hat{a}_k\times\overrightarrow{e},
onde \hat{a}_k é o versor da direção de propagação e \eta é a impedância intrínseca do meio.
  • Aqui a direção de propagação é +z, logo \hat{a}_k=\hat{a}_z. A impedância do meio é
\eta=\frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_r}}=\frac{120\pi}{\sqrt{3}},
pois \eta_0=120\pi\\ \Omega e \varepsilon_r=3. Numericamente \eta\approx 2{,}17094\times 10^{2}\\ \Omega e \dfrac{1}{\eta}\approx 4{,}6058\times 10^{-3}\\ \text{(A·s)/(V·m)} (mais simplesmente: A/m = (V/m)/Ω).
  • Faço o produto vetorial com as regras \hat{a}_z\times\hat{a}_x=\hat{a}_y e \hat{a}_z\times\hat{a}_y=-\hat{a}_x. Assim
\overrightarrow{h}(t)=\frac{1}{\eta}\bigl(E_x\,\hat{a}_y - E_y\,\hat{a}_x\bigr).
Substituindo E_x=2\cos\varphi e E_y=\sin\varphi,
\overrightarrow{h}(t)=-\frac{1}{\eta}\sin\varphi\,\hat{a}_x+\frac{2}{\eta}\cos\varphi\,\hat{a}_y,
onde \varphi=10^{8}t-\tfrac{z}{\sqrt{3}}.
  • Se quiser os coeficientes numéricos, com \dfrac{1}{\eta}\approx 4{,}6058\times 10^{-3},
\overrightarrow{h}(t)\approx -4{,}6058\times 10^{-3}\sin\!\bigl(10^{8}t-\tfrac{z}{\sqrt{3}}\bigr)\,\hat{a}_x +9{,}2116\times 10^{-3}\cos\!\bigl(10^{8}t-\tfrac{z}{\sqrt{3}}\bigr)\,\hat{a}_y\quad\text{(A/m).}

Resposta

(a) \,f=\dfrac{10^{8}}{2\pi}\approx 1{,}5915\times 10^{7}\\ \text{Hz}\quad;\quad \lambda=2\pi\sqrt{3}\approx 10{,}883\\ \text{m}.\n
(b) \,\varepsilon_r=3.\n
(c) Polarização elíptica; equação da elipse \left(\dfrac{E_x}{2}\right)^2+E_y^2=1 (eixo maior ao longo de x, eixo menor ao longo de y); rotação anti-horária com o tempo para z fixo (observando na direção +z).\n
(d) \displaystyle \overrightarrow{h}(t)=-\frac{1}{\eta}\sin\!\bigl(10^{8}t-\tfrac{z}{\sqrt{3}}\bigr)\,\hat{a}_x+\frac{2}{\eta}\cos\!\bigl(10^{8}t-\tfrac{z}{\sqrt{3}}\bigr)\,\hat{a}_y, com \displaystyle \eta=\frac{120\pi}{\sqrt{3}} (aprox. \eta\approx 217{,}09\\ \Omega).

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