1- Um copo de vidro tem o formato de um tronco de cone com altura h , raio maior R e raio menor de r a uma temperatura de TO. Se o copo é aquecido até Tf qual será a variação do raio menor (em micrometros)? O coeficiente de expansão volumétrica para o vidro temperado é de 9,910-\mathrm{K}^{\prime}, as equações mostradas no slide 31 da primeira aula são válidas assim como as aproximações y=3 a e B=2 a. h=15 \mathrm{~cm}
\mathrm{R}=2 \mathrm{~cm}
\mathrm{r}=1,5 \mathrm{~cm}
TO = 25 celcius
\mathrm{Tf}=100 celcius

Passo 1

O que o problema pede: calcular a variação do raio menor do copo (em micrômetros) quando a temperatura sobe de \mathrm{T_O}=25^\circ\mathrm{C} para \mathrm{T_f}=100^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos:
h=15\\ \mathrm{cm},\qquad R=2\\ \mathrm{cm},\qquad r=1,5\\ \mathrm{cm},
\mathrm{T_O}=25^\circ\mathrm{C},\qquad \mathrm{T_f}=100^\circ\mathrm{C},
coeficiente de expansão volumétrica do vidro temperado:
\beta = 9{,}9\times 10^{-6}\\ \mathrm{K}^{-1},
e as aproximações dadas (peguei do enunciado): \gamma = 3\alpha (escrito no enunciado como y=3a) e B=2\alpha (escrito como B=2a). A pergunta é apenas a variação do raio menor (em \mu\mathrm{m}).

Passo 2

Entendendo o modelo físico (aula rápida e sem complicar): para um material isotrópico homogêneo, quando a temperatura aumenta, comprimentos lineares (como um raio) mudam segundo o coeficiente de expansão linear \alpha. A relação básica é
\Delta L = \alpha \, L \, \Delta T,
onde \Delta L é a variação do comprimento, L é o comprimento inicial e \Delta T é a variação de temperatura.
Também há a relação entre coeficiente volumétrico \beta e coeficiente linear \alpha, que para materiais aproximadamente isotrópicos vale
\beta \approx 3\alpha.
No enunciado essa aproximação foi dada ( y=3a). Portanto vamos usar \alpha=\beta/3. Como o raio é um comprimento linear, sua variação usa diretamente a fórmula \Delta r=\alpha\,r\,\Delta T.

Passo 3

Calcular o coeficiente linear \alpha a partir do coeficiente volumétrico \beta. Usando \alpha=\beta/3:
\alpha=\frac{\beta}{3}=\frac{9{,}9\times 10^{-6}}{3}=3{,}3\times 10^{-6}\\ \mathrm{K}^{-1}.
Expliquei: dividi o valor volumétrico por 3 porque, para expansão isotrópica, a expansão volumétrica é aproximadamente a soma das expansões nas três direções.

Passo 4

Calcular a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T=\mathrm{T_f}-\mathrm{T_O}=100^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C}=75\\ \mathrm{K}.
(Repare que diferença em °C e K é numericamente igual.)

Passo 5

Aplicar a fórmula linear para o raio menor. Primeiro converto o raio para metros (ou trabalho direto em \mu\mathrm{m}); mostro os dois jeitos para ficar claro.
Jeito A — em metros:
r=1{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
Então
\Delta r=\alpha\,r\,\Delta T = (3{,}3\times10^{-6})(0{,}015)(75).
Faço as multiplicações passo a passo:
3{,}3\times10^{-6}\times 75 = 2{,}475\times10^{-4},
2{,}475\times10^{-4}\times 0{,}015 = 3{,}7125\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Jeito B — diretamente em micrômetros (mais intuitivo para o resultado final):
r=1{,}5\\ \mathrm{cm}=15\\ \mathrm{mm}=15000\\ \mu\mathrm{m}.
\Delta r = \alpha\,r\,\Delta T = (3{,}3\times10^{-6})(15000)(75).
Calculei 3{,}3\times10^{-6}\times75=2{,}475\times10^{-4} e então 2{,}475\times10^{-4}\times15000=3{,}7125\\ \mu\mathrm{m}.
Ambos dão o mesmo resultado: \Delta r = 3{,}7125\times10^{-6}\\ \mathrm{m} = 3{,}7125\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento: a variação do raio menor é um aumento de cerca de 3{,}71\\ \mu\mathrm{m}. É um valor muito pequeno (micrométrico), o que faz sentido — vidro tem expansão linear pequena.

Resposta

3{,}71\\ \mu\mathrm{m}

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