1- Um copo de vidro tem o formato de um tronco de cone com altura h , raio maior R e raio menor de r a uma temperatura de TO. Se o copo é aquecido até Tf qual será a variação do raio menor (em micrometros)? O coeficiente de expansão volumétrica para o vidro temperado é de
, as equações mostradas no slide 31 da primeira aula são válidas assim como as aproximações
a e
a.
TO = 25 celcius
celcius
TO = 25 celcius
Passo 1
O que o problema pede: calcular a variação do raio menor do copo (em micrômetros) quando a temperatura sobe de
para
.
Dados fornecidos:
coeficiente de expansão volumétrica do vidro temperado:
e as aproximações dadas (peguei do enunciado):
(escrito no enunciado como
) e
(escrito como
). A pergunta é apenas a variação do raio menor (em
).
Passo 2
Entendendo o modelo físico (aula rápida e sem complicar): para um material isotrópico homogêneo, quando a temperatura aumenta, comprimentos lineares (como um raio) mudam segundo o coeficiente de expansão linear
. A relação básica é
onde
é a variação do comprimento,
é o comprimento inicial e
é a variação de temperatura.
Também há a relação entre coeficiente volumétrico e coeficiente linear
, que para materiais aproximadamente isotrópicos vale
Também há a relação entre coeficiente volumétrico
No enunciado essa aproximação foi dada (
). Portanto vamos usar
. Como o raio é um comprimento linear, sua variação usa diretamente a fórmula
.
Passo 3
Calcular o coeficiente linear
a partir do coeficiente volumétrico
. Usando
:
Expliquei: dividi o valor volumétrico por 3 porque, para expansão isotrópica, a expansão volumétrica é aproximadamente a soma das expansões nas três direções.
Passo 4
Calcular a variação de temperatura
:
(Repare que diferença em °C e K é numericamente igual.)
Passo 5
Aplicar a fórmula linear para o raio menor. Primeiro converto o raio para metros (ou trabalho direto em
); mostro os dois jeitos para ficar claro.
Jeito A — em metros:
Então
Faço as multiplicações passo a passo:
Jeito B — diretamente em micrômetros (mais intuitivo para o resultado final):
Calculei
e então
Ambos dão o mesmo resultado:
Passo 6
Interpretação e arredondamento: a variação do raio menor é um aumento de cerca de
. É um valor muito pequeno (micrométrico), o que faz sentido — vidro tem expansão linear pequena.