São dados três vetores em metros:
\mathrm{d} 1=-3,0 \mathrm{i}-3,0 \mathrm{j}+2,0 \mathrm{k}
\mathrm{d} 2=-2,0 \mathrm{i}-4,0 \mathrm{j}+2,0 \mathrm{k}
\mathrm{d} 3=2,0 \mathrm{i}+3,0 \mathrm{j}+1,0 \mathrm{k}
Determine:
\mathrm{d} 1 \cdot(\mathrm{~d} 2 \times \mathrm{d} 3)

Passo 1

O enunciado pede calcular o produto escalar \mathrm{d}1 \cdot (\mathrm{d}2 \times \mathrm{d}3).
As informações dadas (valores dos vetores, em metros) são:
\mathrm{d}1 = -3{,}0\,\mathbf{i} -3{,}0\,\mathbf{j} +2{,}0\,\mathbf{k}
\mathrm{d}2 = -2{,}0\,\mathbf{i} -4{,}0\,\mathbf{j} +2{,}0\,\mathbf{k}
\mathrm{d}3 = 2{,}0\,\mathbf{i} +3{,}0\,\mathbf{j} +1{,}0\,\mathbf{k}
Portanto devemos primeiro calcular o produto vetorial \mathrm{d}2\times\mathrm{d}3 e depois o produto escalar de \mathrm{d}1 com esse resultado.

Passo 2

Mini-aula: definição e fórmula útil.
  • O produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} entre \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é o vetor
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_x & u_y & u_z \\\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix},
ou seja, calculamos as componentes por expansão:
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})_x = u_y v_z - u_z v_y,
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})_y = u_z v_x - u_x v_z,
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})_z = u_x v_y - u_y v_x.
  • O produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} entre \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z) é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
No nosso caso, vamos aplicar essas fórmulas com \mathbf{u}=\mathrm{d}2 e \mathbf{v}=\mathrm{d}3, depois fazer o escalar com \mathrm{d}1.

Passo 3

Extrair componentes dos vetores (escrito em forma numérica):
\mathrm{d}1 = (-3{,}0,\,-3{,}0,\,2{,}0), \quad \mathrm{d}2 = (-2{,}0,\,-4{,}0,\,2{,}0), \quad \mathrm{d}3 = (2{,}0,\,3{,}0,\,1{,}0).
Agora calculemos \mathrm{d}2\times\mathrm{d}3 componente a componente usando as fórmulas da mini-aula.

Passo 4

Calcular cada componente de \mathrm{d}2\times\mathrm{d}3:
Componente x:
(\mathrm{d}2\times\mathrm{d}3)_x = (\mathrm{d}2)_y(\mathrm{d}3)_z - (\mathrm{d}2)_z(\mathrm{d}3)_y = (-4{,}0)\cdot(1{,}0) - (2{,}0)\cdot(3{,}0).
Fazendo as contas:
(-4{,}0)\cdot(1{,}0) = -4{,}0,\qquad (2{,}0)\cdot(3{,}0)=6{,}0,
(\mathrm{d}2\times\mathrm{d}3)_x = -4{,}0 - 6{,}0 = -10{,}0.
Componente y:
(\mathrm{d}2\times\mathrm{d}3)_y = (\mathrm{d}2)_z(\mathrm{d}3)_x - (\mathrm{d}2)_x(\mathrm{d}3)_z = (2{,}0)\cdot(2{,}0) - (-2{,}0)\cdot(1{,}0).
Fazendo as contas:
(2{,}0)\cdot(2{,}0)=4{,}0,\qquad (-2{,}0)\cdot(1{,}0)=-2{,}0,
(\mathrm{d}2\times\mathrm{d}3)_y = 4{,}0 - (-2{,}0) = 4{,}0 + 2{,}0 = 6{,}0.
Componente z:
(\mathrm{d}2\times\mathrm{d}3)_z = (\mathrm{d}2)_x(\mathrm{d}3)_y - (\mathrm{d}2)_y(\mathrm{d}3)_x = (-2{,}0)\cdot(3{,}0) - (-4{,}0)\cdot(2{,}0).
Fazendo as contas:
(-2{,}0)\cdot(3{,}0)=-6{,}0,\qquad (-4{,}0)\cdot(2{,}0)=-8{,}0,
(\mathrm{d}2\times\mathrm{d}3)_z = -6{,}0 - (-8{,}0) = -6{,}0 + 8{,}0 = 2{,}0.
Portanto
\mathrm{d}2\times\mathrm{d}3 = (-10{,}0,\;6{,}0,\;2{,}0).

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar \mathrm{d}1 \cdot (\mathrm{d}2\times\mathrm{d}3). Usamos a definição:
\mathrm{d}1 \cdot (\mathrm{d}2\times\mathrm{d}3) = (\mathrm{d}1)_x(\mathrm{d}2\times\mathrm{d}3)_x + (\mathrm{d}1)_y(\mathrm{d}2\times\mathrm{d}3)_y + (\mathrm{d}1)_z(\mathrm{d}2\times\mathrm{d}3)_z.
Substituindo números:
\mathrm{d}1 \cdot (\mathrm{d}2\times\mathrm{d}3) = (-3{,}0)\cdot(-10{,}0) + (-3{,}0)\cdot(6{,}0) + (2{,}0)\cdot(2{,}0).
Calcule cada termo:
(-3{,}0)\cdot(-10{,}0)=30{,}0,\qquad (-3{,}0)\cdot(6{,}0)=-18{,}0,\qquad (2{,}0)\cdot(2{,}0)=4{,}0.
Somando:
30{,}0 -18{,}0 +4{,}0 = 16{,}0.
Interpretação curta: esse número é o produto misto (também o determinante formado pelas componentes) e, por ter unidades de comprimento ao cubo, representa o volume orientado do paralelepípedo gerado pelos três vetores; aqui o valor é positivo, então a orientação é a padrão.

Resposta

16{,}0\\ \mathrm{m}^3

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