4.3 Quando o campo elétrico é produzido por uma distribuição estática de cargas, o trabalho sobre uma carga de prova pontual que se move entre dois pontos (de A para B) não depende da trajetória percorrida. Com isto podemos associar uma energia potencial a essa carga de prova. A variação da energia potencial da carga de prova ao ir de A até B é igual a menos o trabalho do campo elétrico neste deslocamento. Claro que o trabalho, e portanto, a energia potencial dependem da carga de prova. Porém se dividirmos a energia potencial pelo valor da carga de prova, ficamos com uma quantidade que só depende do campo elétrico, que denominamos potencial elétrico. Escreva portanto, a expressão para a diferença de potencial elétrico entre os pontos B e A .

Passo 1

O enunciado fala de um campo elétrico estático, em que o trabalho sobre uma carga pontual q deslocando-se de A até B é independente da trajetória. Definimos a energia potencial elétrica U dessa carga de prova via
\Delta U = U(B)-U(A) = -W_{AB},
e o potencial elétrico V como U/q. Precisamos achar \Delta V = V(B)-V(A).

Passo 2

O trabalho da força elétrica sobre q ao ir de A para B é
W_{AB} \;=\;\int_{A}^{B}\vec F\cdot d\vec r \;=\;\int_{A}^{B}q\,\vec E\cdot d\vec r \;=\;q\int_{A}^{B}\vec E\cdot d\vec r.

Passo 3

Pela definição de energia potencial,
U(B)-U(A) \;=\; -W_{AB} \;=\;-\,q\int_{A}^{B}\vec E\cdot d\vec r.

Passo 4

Dividindo essa variação de U pela carga q, obtemos a diferença de potencial:
V(B)-V(A) =\frac{U(B)-U(A)}{q} =-\int_{A}^{B}\vec E\cdot d\vec r.

Resposta

V(B)-V(A)=-\int_{A}^{B}\vec E\cdot d\vec r.

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