4.2 Explique detalhadamente como o cálculo do trabalho (
) acima seria modificado se o campo elétrico não fosse uniforme, ou seja, variasse no espaço e se a trajetória percorrida pela carga não fosse retilínea.
Passo 1
O enunciado original calcula o trabalho de uma carga
em um campo elétrico uniforme
ao longo de um deslocamento retilíneo
como
Aqui o campo não depende da posição e o produto escalar é constante. Para um campo não uniforme
e uma trajetória curva
, precisamos usar a noção de integral de linha em campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro dividimos a curva
em pequenos trechos diferenciais
. Em cada ponto
a força na carga é
e o trabalho diferencial associado a esse trecho é
Passo 3
Passando ao limite em que o número de pedaços vai a infinito, a soma dos
torna-se uma integral de linha ao longo de
:
Passo 4
Para calcular essa integral precisamos parametrizar a curva
. Suponha que
com
variando de
até
. Então
e a expressão fica
Passo 5
Na prática, para resolver
você deve:
- Escrever a forma funcional de
. - Dar uma parametrização
que descreva a curva de (início) até (fim). - Substituir no integrando
e calcular a integral de até .
Resposta
O trabalho de uma carga
em um campo não uniforme ao longo de uma trajetória curva
é dado por
ou, usando parametrização
,