Sendo duas cargas Q1 e Q2, situadas no espaço livre, encontram-se respectivamente em (
) e
, mostre a relação (razão, interação) entre Q1 e Q2 para que a parcela em "
" do campo elétrico resultante seja nula
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá as posições das duas cargas e pede uma relação entre elas para que a componente em
do campo elétrico resultante em um ponto específico seja zero. Dados importantes (todos em coordenadas cartesianas):
- Ponto onde queremos
: . - Carga
em . - Carga
em .
O que é pedido:
- Determinar a razão
tal que a componente do campo elétrico total em seja nula.
Passo 2
Relembrando a fórmula útil (passo-a-passo didático): o campo elétrico produzido por uma carga pontual
em um ponto
é, por lei de Coulomb,
onde:
-
é a constante eletrostática (não precisaremos do seu valor final porque ela se cancela), -
é o vetor posição do ponto onde se calcula o campo, -
é o vetor posição da carga, -
é o vetor deslocamento da carga até o ponto (tem componentes ), -
é a distância entre carga e ponto, - a divisão por
surge porque o módulo do campo é e a direção é dada pelo versor do deslocamento, que introduz um fator extra.
Para a componente
do campo, extraímos a componente
do vetor numerador e dividimos por
. No nosso problema, queremos
onde
é a contribuição de
e
a de
.
Passo 3
Calcular os vetores deslocamento do ponto P para cada carga (vou pegar as coordenadas do enunciado):
- Para
em e ponto :
- Para
em e ponto :
Passo 4
Calcular as distâncias (módulos) necessárias:
Passo 5
Escrever as componentes
de cada campo usando a fórmula de Coulomb (cada contribuição):
- Componente
de :
Expliquei: o numerador é
porque a componente
do vetor deslocamento para
é
; o denominador é
.
- Componente
de :
Aqui o numerador é
porque a componente
do vetor deslocamento para
é
.
Passo 6
Impor a condição
. Substituindo:
Como
, podemos simplificar cancelando
:
Passo 7
Resolver a equação para
. Reorganizando:
Logo
Multiplicando e simplificando fatores numéricos:
Simplificando
e reduzindo a fração dentro da raiz
, obtemos a forma mais simples:
Passo 8
Interpretação e valor numérico aproximado (útil para verificar): calcular numericamente
portanto
Observação sobre o sinal: a razão encontrada é positiva, o que significa que as cargas
e
devem ter o mesmo sinal para que as contribuições
opostas (uma negativa, outra positiva) se cancelem no ponto dado.