Sendo duas cargas Q1 e Q2, situadas no espaço livre, encontram-se respectivamente em ( 2,0,0 ) e (-3,2,0), mostre a relação (razão, interação) entre Q1 e Q2 para que a parcela em " x " do campo elétrico resultante seja nula (E x=0) no ponto (1,-2,-5).

Passo 1

O enunciado dá as posições das duas cargas e pede uma relação entre elas para que a componente em x do campo elétrico resultante em um ponto específico seja zero. Dados importantes (todos em coordenadas cartesianas):
  • Ponto onde queremos E_x=0: \,(1,-2,-5).
  • Carga Q_1 em (2,0,0).
  • Carga Q_2 em (-3,2,0).
O que é pedido:
  • Determinar a razão \dfrac{Q_1}{Q_2} tal que a componente x do campo elétrico total em (1,-2,-5) seja nula.

Passo 2

Relembrando a fórmula útil (passo-a-passo didático): o campo elétrico produzido por uma carga pontual Q em um ponto \mathbf{r} é, por lei de Coulomb,
\mathbf{E}(\mathbf{r})=k\,Q\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_Q}{\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}_Q\rVert^{3}},
onde:
  • k é a constante eletrostática (não precisaremos do seu valor final porque ela se cancela),
  • \mathbf{r} é o vetor posição do ponto onde se calcula o campo,
  • \mathbf{r}_Q é o vetor posição da carga,
  • \mathbf{r}-\mathbf{r}_Q é o vetor deslocamento da carga até o ponto (tem componentes x,y,z),
  • \lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}_Q\rVert é a distância entre carga e ponto,
  • a divisão por \lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}_Q\rVert^{3} surge porque o módulo do campo é k|Q|/r^{2} e a direção é dada pelo versor do deslocamento, que introduz um fator 1/r extra.
Para a componente x do campo, extraímos a componente x do vetor numerador e dividimos por r^{3}. No nosso problema, queremos
E_{x,1}+E_{x,2}=0,
onde E_{x,1} é a contribuição de Q_1 e E_{x,2} a de Q_2.

Passo 3

Calcular os vetores deslocamento do ponto P para cada carga (vou pegar as coordenadas do enunciado):
  • Para Q_1 em (2,0,0) e ponto P=(1,-2,-5):
\mathbf{r}_{P}-\mathbf{r}_{1}=(1-2,\;-2-0,\;-5-0)=(-1,\,-2,\,-5).
  • Para Q_2 em (-3,2,0) e ponto P=(1,-2,-5):
\mathbf{r}_{P}-\mathbf{r}_{2}=(1-(-3),\;-2-2,\;-5-0)=(4,\,-4,\,-5).

Passo 4

Calcular as distâncias (módulos) necessárias:
\lVert \mathbf{r}_{P}-\mathbf{r}_{1}\rVert=\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}.
\lVert \mathbf{r}_{P}-\mathbf{r}_{2}\rVert=\sqrt{4^{2}+(-4)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{16+16+25}=\sqrt{57}.

Passo 5

Escrever as componentes x de cada campo usando a fórmula de Coulomb (cada contribuição):
  • Componente x de Q_1:
E_{x,1}=k\,Q_{1}\,\frac{(\text{componente }x\\ \text{do vetor}\\ \mathbf{r}_{P}-\mathbf{r}_{1})}{\lVert \mathbf{r}_{P}-\mathbf{r}_{1}\rVert^{3}} = k\,Q_{1}\,\frac{-1}{(\sqrt{30})^{3}}=k\,Q_{1}\,\frac{-1}{30\sqrt{30}}.
Expliquei: o numerador é -1 porque a componente x do vetor deslocamento para Q_1 é -1; o denominador é r^{3}=(\sqrt{30})^{3}=30\sqrt{30}.
  • Componente x de Q_2:
E_{x,2}=k\,Q_{2}\,\frac{4}{(\sqrt{57})^{3}}=k\,Q_{2}\,\frac{4}{57\sqrt{57}}.
Aqui o numerador é 4 porque a componente x do vetor deslocamento para Q_2 é 4.

Passo 6

Impor a condição E_{x,1}+E_{x,2}=0. Substituindo:
k\,Q_{1}\,\frac{-1}{30\sqrt{30}} + k\,Q_{2}\,\frac{4}{57\sqrt{57}} = 0.
Como k\neq 0, podemos simplificar cancelando k:
-Q_{1}\,\frac{1}{30\sqrt{30}} + Q_{2}\,\frac{4}{57\sqrt{57}} = 0.

Passo 7

Resolver a equação para \dfrac{Q_{1}}{Q_{2}}. Reorganizando:
Q_{2}\,\frac{4}{57\sqrt{57}} = Q_{1}\,\frac{1}{30\sqrt{30}}.
Logo
\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{4}{57\sqrt{57}} \bigg/ \frac{1}{30\sqrt{30}} = \frac{4}{57\sqrt{57}}\cdot\frac{30\sqrt{30}}{1}.
Multiplicando e simplificando fatores numéricos:
\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{4\cdot30}{57}\cdot\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{57}} = \frac{120}{57}\sqrt{\frac{30}{57}}.
Simplificando \dfrac{120}{57}=\dfrac{40}{19} e reduzindo a fração dentro da raiz \dfrac{30}{57}=\dfrac{10}{19}, obtemos a forma mais simples:
\frac{Q_{1}}{Q_{2}}=\frac{40}{19}\sqrt{\frac{10}{19}}.

Passo 8

Interpretação e valor numérico aproximado (útil para verificar): calcular numericamente
\sqrt{\frac{10}{19}}\approx 0,725476\quad\Rightarrow\quad \frac{40}{19}\approx 2,105263,
portanto
\frac{Q_{1}}{Q_{2}}\approx 2,105263\times 0,725476\approx 1,527\\ (\text{aprox.}).
Observação sobre o sinal: a razão encontrada é positiva, o que significa que as cargas Q_1 e Q_2 devem ter o mesmo sinal para que as contribuições x opostas (uma negativa, outra positiva) se cancelem no ponto dado.

Resposta

\displaystyle \frac{Q_{1}}{Q_{2}}=\frac{40}{19}\sqrt{\frac{10}{19}}
\displaystyle \frac{Q_{1}}{Q_{2}}\approx 1{,}527

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