1 O campo elétrico numa região do espaço tem a forma:
E_{x}=\frac{E}{A}(x-y), \quad E_{y}=-\frac{E}{A}(x+y), \quad E_{z}=0,
onde A e E são duas constantes. Calcule o potencial num ponto qualquer dentro da região. (Admita \mathrm{V}=0 na origem.)

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico na região como:
E_{x}=\frac{E}{A}(x-y),\qquad E_{y}=-\frac{E}{A}(x+y),\qquad E_{z}=0,
onde A e E são constantes. Pede-se o potencial elétrico num ponto qualquer dentro da região, com a condição de referência V(0,0,0)=0.
Informações relevantes listadas:
  • Componentes do campo elétrico E_x, E_y, E_z (peguei essas expressões do enunciado).
  • A condição de referência: V(0,0,0)=0.
  • Objetivo: encontrar V(x,y,z) tal que o gradiente dê o campo fornecido.

Passo 2

Relação fundamental entre campo elétrico e potencial: o campo é (menos) o gradiente do potencial. Em palavras: o campo aponta na direção de decrescimento mais rápido do potencial. Em fórmulas:
\mathbf{E} = -\nabla V.
Isto significa, componente a componente,
-\frac{\partial V}{\partial x}=E_x,\qquad -\frac{\partial V}{\partial y}=E_y,\qquad -\frac{\partial V}{\partial z}=E_z.
Antes de integrar é prudente verificar que o campo é conservativo (ou seja, tem potencial escalar global). Uma condição suficiente para isso numa região simplesmente conexa é que o rotacional seja zero: \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}. Vou calcular o componente z do rotacional (que é o mais relevante aqui):
(\nabla\times\mathbf{E})_z=\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}.
Calculemos as derivadas (usando as expressões do enunciado):
\frac{\partial E_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{E}{A}(x+y)\right)=-\frac{E}{A},
\frac{\partial E_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{E}{A}(x-y)\right)=-\frac{E}{A}.
Portanto
(\nabla\times\mathbf{E})_z=-\frac{E}{A}-\left(-\frac{E}{A}\right)=0.
As outras componentes do rotacional também dão zero porque não há dependência em z nem componente E_z. Logo \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0} e existe um potencial V tal que \mathbf{E}=-\nabla V.

Passo 3

Usando -\dfrac{\partial V}{\partial x}=E_x escrevo a equação para \partial V/\partial x:
\frac{\partial V}{\partial x}=-E_x=-\frac{E}{A}(x-y)= -\frac{E}{A}x+\frac{E}{A}y.
Agora integro em relação a x (tratando y,z como constantes). Ao integrar, aparece uma “constante” de integração que pode depender de y e z; chamo-a de g(y,z). A integração dá:
V(x,y,z)=\int\left(-\frac{E}{A}x+\frac{E}{A}y\right)\,dx = -\frac{E}{A}\frac{x^2}{2}+\frac{E}{A}xy + g(y,z).
Escrevendo de forma mais limpa:
V(x,y,z)=-\frac{E}{2A}x^2+\frac{E}{A}xy + g(y,z).

Passo 4

Agora uso a segunda relação -\dfrac{\partial V}{\partial y}=E_y (ou equivalentemente \dfrac{\partial V}{\partial y}=-E_y) para determinar g(y,z). Calculo \partial V/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial V}{\partial y}=\frac{E}{A}x+\frac{\partial g}{\partial y}.
Pelo vínculo com o campo, deve valer
\frac{\partial V}{\partial y}=-E_y = -\left(-\frac{E}{A}(x+y)\right)=\frac{E}{A}(x+y).
Igualando as duas expressões:
\frac{E}{A}x+\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{E}{A}x+\frac{E}{A}y.
Cancelando \dfrac{E}{A}x em ambos os lados obtemos
\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{E}{A}y.
Integro essa equação em y (com z tratado como constante). Ao integrar surge uma função de z como “constante” de integração; chamo-a de h(z):
g(y,z)=\int\frac{E}{A}y\,dy=\frac{E}{A}\frac{y^2}{2}+h(z).
Substituindo em V:
V(x,y,z)=-\frac{E}{2A}x^2+\frac{E}{A}xy+\frac{E}{2A}y^2 + h(z).

Passo 5

Finalmente uso a terceira relação -\dfrac{\partial V}{\partial z}=E_z. Como E_z=0, temos \dfrac{\partial V}{\partial z}=0. Calculando a derivada de V em relação a z obtém-se
\frac{\partial V}{\partial z}=h'(z)=0.
Logo h(z) é constante. Para determinar essa constante usamos a condição de referência V(0,0,0)=0. Substituindo x=0,y=0,z=0 em V obtemos 0 = h(0), portanto a constante é zero: h(z)\equiv 0.
Assim o potencial final é
V(x,y,z)=-\frac{E}{2A}x^2+\frac{E}{A}xy+\frac{E}{2A}y^2.

Passo 6

Como checagem rápida (útil na prova): calcular -\nabla V e ver se retorna o campo original. As derivadas dão
-\frac{\partial V}{\partial x}=-\left(-\frac{E}{A}x+\frac{E}{A}y\right)=\frac{E}{A}(x-y)=E_x,
-\frac{\partial V}{\partial y}=-\left(\frac{E}{A}x+\frac{E}{A}y\right)=-\frac{E}{A}(x+y)=E_y,
-\frac{\partial V}{\partial z}=0=E_z.
Conferido: coincide com o campo dado.

Resposta

V(x,y,z)=-\frac{E}{2A}x^{2}+\frac{E}{A}xy+\frac{E}{2A}y^{2}.

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