1 O campo elétrico numa região do espaço tem a forma:
onde
e
são duas constantes. Calcule o potencial num ponto qualquer dentro da região. (Admita
na origem.)
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico na região como:
onde
e
são constantes. Pede-se o potencial elétrico num ponto qualquer dentro da região, com a condição de referência
.
Informações relevantes listadas:
- Componentes do campo elétrico
, , (peguei essas expressões do enunciado). - A condição de referência:
. - Objetivo: encontrar
tal que o gradiente dê o campo fornecido.
Passo 2
Relação fundamental entre campo elétrico e potencial: o campo é (menos) o gradiente do potencial. Em palavras: o campo aponta na direção de decrescimento mais rápido do potencial. Em fórmulas:
Isto significa, componente a componente,
Antes de integrar é prudente verificar que o campo é conservativo (ou seja, tem potencial escalar global). Uma condição suficiente para isso numa região simplesmente conexa é que o rotacional seja zero:
. Vou calcular o componente
do rotacional (que é o mais relevante aqui):
Calculemos as derivadas (usando as expressões do enunciado):
Portanto
As outras componentes do rotacional também dão zero porque não há dependência em
nem componente
. Logo
e existe um potencial
tal que
.
Passo 3
Usando
escrevo a equação para
:
Agora integro em relação a
(tratando
como constantes). Ao integrar, aparece uma “constante” de integração que pode depender de
e
; chamo-a de
. A integração dá:
Escrevendo de forma mais limpa:
Passo 4
Agora uso a segunda relação
(ou equivalentemente
) para determinar
. Calculo
a partir da expressão obtida:
Pelo vínculo com o campo, deve valer
Igualando as duas expressões:
Cancelando
em ambos os lados obtemos
Integro essa equação em
(com
tratado como constante). Ao integrar surge uma função de
como “constante” de integração; chamo-a de
:
Substituindo em
:
Passo 5
Finalmente uso a terceira relação
. Como
, temos
. Calculando a derivada de
em relação a
obtém-se
Logo
é constante. Para determinar essa constante usamos a condição de referência
. Substituindo
em
obtemos
, portanto a constante é zero:
.
Assim o potencial final é
Passo 6
Como checagem rápida (útil na prova): calcular
e ver se retorna o campo original. As derivadas dão
Conferido: coincide com o campo dado.