Conclua sobre a convergência das séries aplicando um critério adequado (raiz, razão, integral):
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+n}\right)^{n}
O que é pedido: concluir se essa série converge ou diverge (usar um critério adequado: raiz, razão ou integral). Informação importante que já está explícita no enunciado:
  • O termo geral da série é a_n=\left(\dfrac{1}{1+n}\right)^{n}.
  • Todos os a_n são positivos para n\ge 1 (pois 1/(1+n)>0).

Passo 2

Escolha do critério e justificativa (por que usar esse critério):
  • Observando a_n=\left(\dfrac{1}{1+n}\right)^{n}, o expoente n aparece sobre toda uma base que depende de n. Situações do tipo "algo elevado a n" são naturalmente tratadas pelo critério da raiz (teste da raiz de Cauchy), porque o teste envolve exatamente a raiz enésima de a_n, o que costuma simplificar expressões com potências ^{n}.
  • Portanto vou aplicar o critério da raiz. (Outras opções, como comparação com uma geométrica, também funcionam e vou comentar isso depois como reforço.)

Passo 3

Enunciado do critério da raiz (versão prática) e explicação das quantidades:
  • Seja uma série \sum a_n com termos complexos (ou reais). Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
As conclusões são:
  • Se L<1, a série converge absolutamente (e, portanto, converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o critério é inconclusivo.
  • Explicação das variáveis: a_n é o termo geral; |a_n| é o valor absoluto (aqui já temos a_n>0 então |a_n|=a_n); \sqrt[n]{\cdot} é a raiz enésima; \limsup é o limite superior, que coincide com o limite comum quando este existe.

Passo 4

Calcular a raiz enésima de a_n e tirar o limite:
  • Primeiro, escrevemos o termo geral explicitamente:
a_n=\left(\frac{1}{1+n}\right)^{n}.
  • Tomando a raiz enésima:
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\left(\frac{1}{1+n}\right)^{n}}.
  • Para x>0 vale \sqrt[n]{x^{n}}=x. Aqui a base \dfrac{1}{1+n} é positiva, logo
\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{1+n}.

Passo 5

Avaliar o limite da sequência \sqrt[n]{a_n}:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+n}=0.
Justificativa simples: o denominador 1+n tende a +\infty, portanto a fração tende a 0.

Passo 6

Aplicação do critério da raiz e conclusão:
  • Obtivemos L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=0.
  • Como L=0<1, pelo critério da raiz a série \sum a_n converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (sem necessidade de mais testes).

Passo 7

Comentário extra (intuição e comparação alternativa, para fixar a ideia):
  • Intuitivamente, os termos a_n são extremamente pequenos porque a base \dfrac{1}{1+n} vai a 0 quando n cresce, e isso elevado a n dá uma decaída muito rápida.
  • Um argumento alternativo simples por comparação: para todo n\ge 1 tem \dfrac{1}{1+n}\le \dfrac{1}{2}. Como 0<\dfrac{1}{1+n}\le\dfrac{1}{2}<1, então
\left(\frac{1}{1+n}\right)^{n}\le\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
A série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} converge (soma finita), logo pela comparação a nossa série também converge. Esse argumento confirma o resultado obtido pelo critério da raiz.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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