Conclua sobre a convergência das séries aplicando um critério adequado (raiz, razão, integral):
Passo 1
O enunciado nos dá a série
O que é pedido: concluir se essa série converge ou diverge (usar um critério adequado: raiz, razão ou integral). Informação importante que já está explícita no enunciado:
- O termo geral da série é
. - Todos os
são positivos para (pois ).
Passo 2
Escolha do critério e justificativa (por que usar esse critério):
- Observando
, o expoente aparece sobre toda uma base que depende de . Situações do tipo "algo elevado a " são naturalmente tratadas pelo critério da raiz (teste da raiz de Cauchy), porque o teste envolve exatamente a raiz enésima de , o que costuma simplificar expressões com potências . - Portanto vou aplicar o critério da raiz. (Outras opções, como comparação com uma geométrica, também funcionam e vou comentar isso depois como reforço.)
Passo 3
Enunciado do critério da raiz (versão prática) e explicação das quantidades:
- Seja uma série
com termos complexos (ou reais). Defina
As conclusões são:
- Se
, a série converge absolutamente (e, portanto, converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o critério é inconclusivo. - Explicação das variáveis:
é o termo geral; é o valor absoluto (aqui já temos então ); é a raiz enésima; é o limite superior, que coincide com o limite comum quando este existe.
Passo 4
Calcular a raiz enésima de
e tirar o limite:
- Primeiro, escrevemos o termo geral explicitamente:
- Tomando a raiz enésima:
- Para
vale . Aqui a base é positiva, logo
Passo 5
Avaliar o limite da sequência
:
Justificativa simples: o denominador
tende a
, portanto a fração tende a
.
Passo 6
Aplicação do critério da raiz e conclusão:
- Obtivemos
. - Como
, pelo critério da raiz a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (sem necessidade de mais testes).
Passo 7
Comentário extra (intuição e comparação alternativa, para fixar a ideia):
- Intuitivamente, os termos
são extremamente pequenos porque a base vai a quando cresce, e isso elevado a dá uma decaída muito rápida. - Um argumento alternativo simples por comparação: para todo
tem . Como , então
A série geométrica
converge (soma finita), logo pela comparação a nossa série também converge. Esse argumento confirma o resultado obtido pelo critério da raiz.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).