onde \Lambda(\mathbf{r}, t) é uma função diferenciável arbitrária. De que maneira a lagrangiana (1.6.11) é afetada por esta transformação? As equaçōes de movimento são alteradas?
Passo 1
Enunciado dado: a transformação de calibre dos potenciais é
onde \Lambda(\mathbf{r},t) é função diferenciável arbitrária. O enunciado pergunta:
De que maneira a lagrangiana (1.6.11) é afetada por esta transformação? \n
As equações de movimento são alteradas? \n
Informações relevantes que foram dadas ou que vou usar (porque a lagrangiana não foi explicitada no enunciado, uso a forma padrão do acoplamento mínimo para uma partícula carregada):
Aplicar a transformação de calibre na lagrangiana: substituo \mathbf{A} por \mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}+\nabla\Lambda e \varphi por \varphi^{\prime}=\varphi-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\Lambda}{\partial t} na expressão de L. Escrevo L^{\prime} explicitamente:
Ao variar a ação com condições de contorno fixas (isto é, \delta\mathbf{r}(t_{1})=\delta\mathbf{r}(t_{2})=0), este termo de contorno não contribui para \delta S. Logo \delta S^{\prime}=\delta S e as equações de Euler–Lagrange são idênticas para L e L^{\prime}. Em palavras amigáveis: adicionar uma derivada total ao Lagrangiano só muda a ação por uma constante (dependente dos valores nos extremos), não muda a condição de estacionar a ação, logo não altera as equações de movimento.
Passo 6
Mostrar o que muda e o que fica igual em quantidades físicas importantes (intuindo o efeito em momento canônico e nos campos). Cálculo do momento canônico:
Ou seja, o momento canônico sofre um deslocamento pela quantidade \dfrac{q}{c}\nabla\Lambda. Já o momento mecânico (ou quantidade física de movimento) m\dot{\mathbf{r}} permanece inalterado. Os campos elétrico e magnético, que determinam a força, são inalterados pela transformação de calibre:
e usando as transformações de \varphi e \mathbf{A} vê-se diretamente que \mathbf{E} e \mathbf{B} não mudam. Portanto a força de Lorentz que aparece nas equações de movimento (por exemplo m\ddot{\mathbf{r}}=q(\mathbf{E}+\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B})) não é afetada.
Resposta
L^{\prime}=L+\dfrac{q}{c}\dfrac{d\Lambda(\mathbf{r}(t),t)}{dt}.\n
Não: as equações de movimento não são alteradas (a mudança é apenas uma derivada temporal total, que não afeta as equações de Euler–Lagrange).