O campo eletromagnético é invariante sob uma transformação de calibre dos potenciais definida por
\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}+\nabla \Lambda \quad, \quad \varphi \rightarrow \varphi^{\prime}=\varphi-\frac{1}{c} \frac{\partial \Lambda}{\partial t},
onde \Lambda(\mathbf{r}, t) é uma função diferenciável arbitrária. De que maneira a lagrangiana (1.6.11) é afetada por esta transformação? As equaçōes de movimento são alteradas?

Passo 1

Enunciado dado: a transformação de calibre dos potenciais é
\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}+\nabla \Lambda,\qquad \varphi \rightarrow \varphi^{\prime}=\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial \Lambda}{\partial t},
onde \Lambda(\mathbf{r},t) é função diferenciável arbitrária. O enunciado pergunta:
  1. De que maneira a lagrangiana (1.6.11) é afetada por esta transformação? \n
  2. As equações de movimento são alteradas? \n
    Informações relevantes que foram dadas ou que vou usar (porque a lagrangiana não foi explicitada no enunciado, uso a forma padrão do acoplamento mínimo para uma partícula carregada):
L(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},t)=\tfrac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^{2}+\frac{q}{c}\,\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{r},t)-q\,\varphi(\mathbf{r},t).
Também usarei as definições dos campos elétrico e magnético em termos dos potenciais:
\mathbf{E}=-\nabla\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},\qquad \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.

Passo 2

Aplicar a transformação de calibre na lagrangiana: substituo \mathbf{A} por \mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}+\nabla\Lambda e \varphi por \varphi^{\prime}=\varphi-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\Lambda}{\partial t} na expressão de L. Escrevo L^{\prime} explicitamente:
L^{\prime}=\tfrac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^{2}+\frac{q}{c}\,\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}^{\prime}-q\,\varphi^{\prime}.
Agora coloco as formas transformadas de \mathbf{A}^{\prime} e \varphi^{\prime} dentro de L^{\prime}.

Passo 3

Fazer as substituições e simplificar os termos adicionais. Substituindo,
L^{\prime}=\tfrac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^{2}+\frac{q}{c}\,\dot{\mathbf{r}}\cdot(\mathbf{A}+\nabla\Lambda) -q\Big(\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\Lambda}{\partial t}\Big).
Distribuindo e reorganizando,
L^{\prime}=\underbrace{\tfrac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^{2}+\frac{q}{c}\,\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}-q\varphi}_{=\,L} +\frac{q}{c}\,\dot{\mathbf{r}}\cdot\nabla\Lambda+\frac{q}{c}\,\frac{\partial\Lambda}{\partial t}.
Ou seja,
L^{\prime}=L+\frac{q}{c}\Big(\dot{\mathbf{r}}\cdot\nabla\Lambda+\frac{\partial\Lambda}{\partial t}\Big).

Passo 4

Identificar o termo adicional como derivada temporal total. Pelo teorema da cadeia (derivada material de \Lambda(\mathbf{r}(t),t)),
\frac{d}{dt}\Lambda(\mathbf{r}(t),t)=\dot{\mathbf{r}}\cdot\nabla\Lambda+\frac{\partial\Lambda}{\partial t}.
Portanto o termo extra em L^{\prime} é exatamente \dfrac{q}{c}\dfrac{d\Lambda}{dt}. Concluímos:
L^{\prime}=L+\frac{q}{c}\frac{d\Lambda(\mathbf{r}(t),t)}{dt}.

Passo 5

Explicar por que uma adição de derivada total não altera as equações de Euler–Lagrange (e portanto as equações de movimento). Considere a ação
S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt.
Para a nova lagrangiana L^{\prime} temos
S^{\prime}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}L^{\prime}\,dt=\int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt+\frac{q}{c}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{d\Lambda}{dt}\,dt.
A segunda integral é um termo de contorno:
\frac{q}{c}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{d\Lambda}{dt}\,dt=\frac{q}{c}\big[\Lambda(\mathbf{r}(t_{2}),t_{2})-\Lambda(\mathbf{r}(t_{1}),t_{1})\big].
Ao variar a ação com condições de contorno fixas (isto é, \delta\mathbf{r}(t_{1})=\delta\mathbf{r}(t_{2})=0), este termo de contorno não contribui para \delta S. Logo \delta S^{\prime}=\delta S e as equações de Euler–Lagrange são idênticas para L e L^{\prime}. Em palavras amigáveis: adicionar uma derivada total ao Lagrangiano só muda a ação por uma constante (dependente dos valores nos extremos), não muda a condição de estacionar a ação, logo não altera as equações de movimento.

Passo 6

Mostrar o que muda e o que fica igual em quantidades físicas importantes (intuindo o efeito em momento canônico e nos campos). Cálculo do momento canônico:
\mathbf{p}\equiv\frac{\partial L}{\partial\dot{\mathbf{r}}}=m\dot{\mathbf{r}}+\frac{q}{c}\mathbf{A}(\mathbf{r},t).
Para L^{\prime} obtemos
\mathbf{p}^{\prime}=m\dot{\mathbf{r}}+\frac{q}{c}\mathbf{A}^{\prime}=m\dot{\mathbf{r}}+\frac{q}{c}(\mathbf{A}+\nabla\Lambda)=\mathbf{p}+\frac{q}{c}\nabla\Lambda.
Ou seja, o momento canônico sofre um deslocamento pela quantidade \dfrac{q}{c}\nabla\Lambda. Já o momento mecânico (ou quantidade física de movimento) m\dot{\mathbf{r}} permanece inalterado. Os campos elétrico e magnético, que determinam a força, são inalterados pela transformação de calibre:
\mathbf{E}=-\nabla\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t},\qquad \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A},
e usando as transformações de \varphi e \mathbf{A} vê-se diretamente que \mathbf{E} e \mathbf{B} não mudam. Portanto a força de Lorentz que aparece nas equações de movimento (por exemplo m\ddot{\mathbf{r}}=q(\mathbf{E}+\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B})) não é afetada.

Resposta

L^{\prime}=L+\dfrac{q}{c}\dfrac{d\Lambda(\mathbf{r}(t),t)}{dt}.\n
Não: as equações de movimento não são alteradas (a mudança é apenas uma derivada temporal total, que não afeta as equações de Euler–Lagrange).

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